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書記が物理やるだけ#89 多自由度の運動
では,自由度を増やしていくと運動はどうなるだろうか。
問題
![スクリーンショット 2022-05-19 21.31.51](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/78891837/picture_pc_76e1a45c374108f86ee2743810a32b4b.png?width=800)
説明
自由度3の連成振動の図示。
![スクリーンショット 2022-05-19 21.32.55](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/78891866/picture_pc_5ac1d492fe8811490618d1c892419bb9.png?width=800)
自由度を増やした場合,以下の式に一般化できる。注意点として,端を固定している分の付帯条件がある。
![スクリーンショット 2022-05-19 21.33.35](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/78891949/picture_pc_269f9387b5b9bc74b8f37b9107cd2f5c.png?width=800)
計算していくと,以下のようにモードを示すことができる。
![スクリーンショット 2022-05-19 21.34.31](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/78891984/picture_pc_bb041e0007f08794da50c3ee3218cd20.png?width=800)
解答
まずは自由度3の場合について計算する。
![](https://assets.st-note.com/img/1653111597460-E3hSqBEQ5B.jpg?width=800)
自由度nの場合も,基本的には固有値問題を解けばよいが,端の部分についての条件(付帯条件)を個別に考える必要がある。
![](https://assets.st-note.com/img/1653111613661-jjjdpijuY6.jpg?width=800)
解の形は,以前と同様三角関数で示すことができる。
![](https://assets.st-note.com/img/1653111678707-TIAx7QOgr4.jpg?width=800)
付帯条件について適合しているかの確認。
![](https://assets.st-note.com/img/1653111703187-I0JKtvc6bp.jpg?width=800)
ここで,pについてとりうる値はm=1,2,…,Nのみである。
![](https://assets.st-note.com/img/1653111727884-eSbCe6K7zG.jpg?width=800)
これで付帯条件込みでモードが求められた。
![](https://assets.st-note.com/img/1653111776611-6YSvtlj2Lp.jpg?width=800)
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