書記が数学やるだけ#255 無限乗積
解析学の前半の締めとして,無限乗積について扱う。
問題
説明
無限乗積の収束について,対数で無限級数に変換できることを利用する。
解答
まずは収束に関する定理を証明しておく。
Wallis積分からWallisの公式を示す。
ガンマ関数が収束することの証明。
優関数を用いて収束することを示す。
最後に,円周率を2だけで表示するVieteの公式を示す。これは過去いくつかの大学入試問題があるが,初見では厳しい計算が多い。その到達感は如何なるものだろうか。
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