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書記が数学やるだけ#504 閉曲線の全曲率,回転数-1
閉曲線のパラメータについていくつかみていく。
問題
回転数について。
説明
今回から閉曲線について深掘りしていく。
基本事項:
回転数は見ればわかる数字であるが,厳密には曲率の積分で定義される。
問題に出てくるホモトピーについて簡単にまとめておく。これは位相幾何学で基本をなすものである。
解答
楕円の回転数が1であることは明らかなのだが,せっかくなので計算して確かめてみる。
閉曲線の回転数は整数になる。一見明らかな気もするが,回転数の定義から整数だけが出てくるのは意外性がある。
単純閉曲線の回転数は+1か-1である。これを示すには単位円への連続写像を考える。
あとは条件により値を絞っていく。
正則ホモトピーであることの証明。
これにより,単純閉曲線と円は同値であることが言える。
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