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書記が数学やるだけ#380 ポリアの壺
今回はポリアの壺について,大学入試レベルから更に一般化をしてみる。
問題
![スクリーンショット 2022-05-24 21.15.16](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/79231849/picture_pc_b08d988215cc53c11f61b48de2a42483.png?width=1200)
説明
実際に図示してみる。
![スクリーンショット 2022-05-24 21.15.39](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/79231885/picture_pc_dbef31714650062d033dada1e31c126e.png?width=1200)
![スクリーンショット 2022-05-24 21.16.14](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/79231930/picture_pc_45d40c3cb451f71fc78882da81d20433.png?width=1200)
解答
n=3くらいは実際に試して計算してみる。
![スクリーンショット 2022-05-24 21.17.33](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/79232029/picture_pc_c2e2d0ec44292342e9952822ed2e0302.png?width=1200)
一般のnについて考えるには,nとn-1を比較して確率漸化式を立てる。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481584671-cciU8Np4vd.jpg?width=1200)
すると,赤玉がk個出てくる確率は一様分布に従うことがわかった。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481629691-G5v6i6VqLp.jpg?width=1200)
以下のように直接計算することでも求められる。以後の一般化では,むしろこちらの解法の方がやりやすいのでこちらを採用する。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481700331-OQDdf2iAjL.jpg?width=1200)
ここで,二項分布に関する等式を示しておく。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481748176-PjjpJcBhrj.jpg?width=1200)
では,最初に入っている球の数を一般化する。(2)により式変形をすることで,ベータ分布を含む形に帰着できる。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481769159-5BjZcdK5y6.jpg?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1653481799592-PbFmrtmdY2.jpg?width=1200)
最後に,追加する玉も一般化する。
![](https://assets.st-note.com/img/1653481841922-5tUZtZc9tz.jpg?width=1200)
このような壺問題は,確率過程を考える上で良いモデルとなりうる。
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