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書記が数学やるだけ#604 反変テンソルと共変テンソル-1
反変テンソルと共変テンソルについての理解を進めていく。
問題
![スクリーンショット 2022-10-30 10.58.12](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/90070232/picture_pc_10d5852b06803fc011cec9008fd2fc9c.png?width=1200)
説明
テンソルによる座標系の表示。
![スクリーンショット 2022-10-30 10.59.16](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/90070284/picture_pc_94fcf98e608112492abd417dc7abc969.png?width=1200)
ベクトル場の変換則について,反変ベクトルと共変ベクトルという対となる概念を考える。
![スクリーンショット 2022-10-30 11.00.07](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/90070346/picture_pc_3d53d361af623bd6d1bca272dbc87722.png?width=1200)
より複雑な変換則について。
![スクリーンショット 2022-10-30 11.01.13](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/90070455/picture_pc_bdd035155f08dbad14dd4b35602879f2.png?width=1200)
解答
接ベクトル場や時間微分は反変ベクトルの例である。
![数学やるだけ解答#604_page-0001](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/90070538/picture_pc_8e3e12ca8972e2c25136408aebe4fa76.jpg?width=1200)
勾配や空間微分は共変ベクトルの例である。
![数学やるだけ解答#604_page-0002](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/90070572/picture_pc_caa4e1f038a434c9a78feb24cf09359d.jpg?width=1200)
反変ベクトルと共変ベクトルの内積は不変量である。
![数学やるだけ解答#604_page-0003](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/90070582/picture_pc_0b79145d292cb66e3a05a1663c9c5a5c.jpg?width=1200)
ここからは1階テンソルから2階テンソルを生成する例を示す。
![数学やるだけ解答#604_page-0004](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/90070616/picture_pc_7e233f85aa1510df8eeea1c57d1c233d.jpg?width=1200)
![数学やるだけ解答#604_page-0005](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/90070638/picture_pc_371c2f01cfc695baaf5bcd2e7b664745.jpg?width=1200)
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