書記が数学やるだけ#145 多次元確率分布の例

1変数の確率分布を多次元に拡張する。

問題

2次元正規分布について，半端なく面倒だが一回は手を動かしておきたい。

説明

多項分布は2項分布の拡張。

多次元ベータ分布。

多次元正規分布は特に重要である。多次元正規分布の周辺分布は正規分布で，それら周辺分布の情報（平均と分散）と共分散だけで分布が決まる。

2次元正規分布について，実際に可視化したものがこちら。確率密度の値によって色を変えて表示している。

解法

同時確率密度関数がこちら。

周辺分布を整理すると，それが正規分布であることがわかる。

変数を整理しながら，共分散を求めていく。

分布を求めるにはモーメント母関数を用いる。

n次元球の体積について，まずは3次元（普通の球），変数変換により多次元ベータ関数で表せるようになる。

ベータ関数を拡張していけば，次元を上げても体積が求められる。

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