書記が数学やるだけ#792 2次元の線形力学系-1

2次元の線形力学系は，線形代数の性質をフル活用していく。

問題

説明

2次元の線形力学系の性質は，固有値により分類できる。

以下の図は分類をまとめたもので，解答で一つずつ確認していく。

解答

まずは簡単な行列について，xとyの減衰の度合いから分類を考える。

まず，固有値が異符号の場合はサドルを形成し，解は一度中心に近づいてから急に発散する挙動を示す。

次に一方の固有値が0の場合は，孤立していない固定点，つまり軸全体または平面全体が固有点となる。

固有値が実数で同符号の場合，ノードを形成し，τの正負により安定（1点に収束）か不安定（1点から発散）かが決まる。

固有値が複素数の場合は，スパイラル・センターを形成する。

固有値が等しい場合は，スターノードか縮退ノードを形成する。

具体例として，Strogatzによる恋愛モデルを考えてみる：

Strogatz, Steven H. "Love affairs and differential equations." Mathematics Magazine 61.1 (1988): 35-35.

まず係数の正負について，aが大きいほど自分の感情に従い，bが大きいほど相手の好意に従うと言える。aとbの正負の組み合わせにより，「情熱的」「ナルシスト」「慎重波」「天邪鬼」の4通りに分類できる。

一例として，2人が似通った慎重派である場合を考える。これはa^2とb^2の大小により，サドルと安定ノードの2通りに分けられる。サドルの場合は，初期値により両想いか互いに嫌いかに分かれる。一方で安定ノードは，初期値によらず互いに無関心に収束する。

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