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書記が数学やるだけ#246 広義積分の収束判定

広義積分の収束判定についていくつか取り上げる。


問題

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説明

広義積分では無限大が出てくるが,大体の扱い方は普通の積分と同じである。

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Cauchyの収束定理は,広義積分でも同じ。

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絶対収束についても,数列でやったのと同じことが言える。

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広義積分の収束判定には,上からの評価がよく用いられる。

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解答

調和級数が発散することの証明。有名どころだと1/2で括る方法や,グラフから求める方法など。

数学やるだけ解答#246_page-0001


これはDirichlet積分であり過去何度か取り上げたことがある。具体的な値を求めるには複素積分が必要だが,収束性の判定だけなら本範囲でできる。

参考:



Cauchyの判定法に則って収束することを示す。

数学やるだけ解答#246_page-0002


こちらは下から発散する数列を用意する。

数学やるだけ解答#246_page-0003


収束判定の代表例について,簡単に証明しておく。

数学やるだけ解答#246_page-0004


ガンマ積分が収束することは,2種類の収束判定を用いる。

参考:


数学やるだけ解答#246_page-0005


数学やるだけ解答#246_page-0006


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