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書記が数学やるだけ#246 広義積分の収束判定
広義積分の収束判定についていくつか取り上げる。
問題
説明
広義積分では無限大が出てくるが,大体の扱い方は普通の積分と同じである。
Cauchyの収束定理は,広義積分でも同じ。
絶対収束についても,数列でやったのと同じことが言える。
広義積分の収束判定には,上からの評価がよく用いられる。
解答
調和級数が発散することの証明。有名どころだと1/2で括る方法や,グラフから求める方法など。
これはDirichlet積分であり過去何度か取り上げたことがある。具体的な値を求めるには複素積分が必要だが,収束性の判定だけなら本範囲でできる。
参考:
Cauchyの判定法に則って収束することを示す。
こちらは下から発散する数列を用意する。
収束判定の代表例について,簡単に証明しておく。
ガンマ積分が収束することは,2種類の収束判定を用いる。
参考:
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