書記が数学やるだけ#548 構造方程式とガウス-ボネの定理,ポアンカレ-ホップの指数定理
構造方程式を用いたガウス-ボネの定理,ポアンカレ-ホップの指数定理の証明を行う。
問題
説明
種数,オイラー標数について簡単に示す。
オイラー標数について,ガウス-ボネの定理,ポアンカレ-ホップの指数定理が重要。
これらを示すには,構造方程式を用いると便利である。
解答
まず第1構造方程式を導出する。
これを整理して第2構造方程式を得る。
ここで,Kはガウス曲率であることを確認。
ガウス曲率の面積分と指数の関係を示す。
指数の和とオイラー標数の一致から,目当ての定理を得る。
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