書記が数学やるだけ#548 構造方程式とガウス-ボネの定理，ポアンカレ-ホップの指数定理

構造方程式を用いたガウス-ボネの定理，ポアンカレ-ホップの指数定理の証明を行う。

問題

説明

種数，オイラー標数について簡単に示す。

オイラー標数について，ガウス-ボネの定理，ポアンカレ-ホップの指数定理が重要。

これらを示すには，構造方程式を用いると便利である。

解答

まず第1構造方程式を導出する。

これを整理して第2構造方程式を得る。

ここで，Kはガウス曲率であることを確認。

ガウス曲率の面積分と指数の関係を示す。

指数の和とオイラー標数の一致から，目当ての定理を得る。

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