書記が数学やるだけ#731 1パラメータ変換群,リー微分の計算
リー代数を考える一歩手前として,1パラメータ変換群,リー微分の計算を行なってみる。
問題
説明
1パラメータ変換群はフローを大域的に見たもので,名の通り群の性質を持つ。
多様体上においてはリー微分が定義される。
解答
1パラメータ変換群の群の性質を確認する。
具体例として回転と平行移動を考える。係数行列の微分が無限小変化であり,このまとまりとして指数を取ることで1パラメータ変換群を求めることができる。
リー微分について具体的に計算していく。Xに関する関数fのリー微分は,f上で評価されたベクトル場Xである。
次にベクトル場のリー微分について,2つのベクトル場 X と Y のリー括弧積 [X,Y]により定義できる。
1形式のリー微分では逆行列を用いる。
これらを組み合わせることで,任意のテンソル場のリー微分を考えることができる。
本記事のもくじはこちら:
学習に必要な本を買います。一覧→ https://www.amazon.co.jp/hz/wishlist/ls/1XI8RCAQIKR94?ref_=wl_share