代入

数の世界を拡張して変数という文字を導入して「文字式」というものを考えるのは計算の上で便利な発明品です。例えば中学生の頃に
「x = -1のとき、x^2 + 2x + 1を求めよ」
という問題を、直接この式に代入して
(-1)×(-1) + 2×(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0
と計算するより
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
と因数分解してx = -1を代入すれば０とすぐ計算できるよ、と習ってきました。

文字式に代入してから計算するのと、文字式を簡単にしてから代入するのと、どちらも結果は同じである。だから簡単にして最後に代入した方が計算ミスが減る、という訳です。

では、そもそも「代入」という操作は何かを考察してみよう。

簡単のため実数を係数にし、ｘを変数（独立した文字）とした多項式のすべての集合をＸとする。多項式というのは、変数ｘのｎ乗「x^n」（ただしｎは０以上の整数）に実数を値にしたある定数ａが掛けられたものax^nについてのいくつか有限個の和であった。例えば
x，x^2，2+3x-10x^3，1-x，0，1，･･･
などは多項式である。０や１など定数そのものも多項式と考えている。

多項式の加法（足し算）、減法（引き算）、乗法（掛け算）ができるのは既知としよう。例えば、加法で言えば、
(x + 1) + (x +2x^2 -3) = 2x^2 + 2x -2
となるのであった。

なお減法は加法と考えよう。すなわち、２つの多項式Ｐ、Ｑについてその減法P - Qというのは、加法P + (-Q)と考えて、減法という言葉は加法という言葉で事足りる。

加法と乗法が定義された多項式の集合Ｘには、我々のよく知ってる以下のような法則が成り立つ：
（１）加法に関する結合法則
（２）加法に関する単位元の存在
（３）加法に関する逆元の存在
（４）加法に関する交換法則
（５）乗法に関する結合法則
（６）乗法に関する単位元の存在
（７）乗法に関する交換法則
（８）加法に対する乗法の分配法則
（９）定数倍に関する諸法則（注意：ここでは詳しく述べない）

それぞれの条件の意味の説明は割愛しますが、条件（１）～（８）を満たすような体系を可換環（かかんかん）と言われます。しかしそんなリズミカルな名前はともかく、加法、乗法という２つの演算が、代入という「多項式の集合Ｘから実数へ対応付ける写像」について両立することが、「式を簡単にしてから代入してもよい」ということを保証してくれています。

つまり、実数αの代入とは、
　写像：Ｘ→（実数全体），変数ｘを実数αに置き換える
であって、２つの可換環の間の準同型写像であるという訳です。
（注意：実数全体の集合にも上記（１）～（８）の法則が通常の加法、乗法について成り立ちますので可換環です。）

こうして代入とは広く言うところの「準同型写像」というものだと落ち着きました。

なお、除法（割り算）も考慮に入れたい場合も同様です。その場合は割り算もできる世界、それを可換体ないしは単に体と言われるもので、可換環の要請する条件に加えて、
（１０）乗法について、零元（ようは０）を除いた逆元の存在
という条件を付与したもので考察すれば得られます。