はじめての線形代数 練習問題2

今回はこちらの記事の練習問題と解説をしようと思います！

問題

基礎問題

$${問題1\begin{Bmatrix} 2x - y = 3 \\ 4x + y = 9 \end{Bmatrix}\\この連立方程式を行列の簡約化を\\用いて解を求めてください。}$$

$${問題2.\begin{Bmatrix} x + 6y = -9 \\ 3x + 2y = 5 \end{Bmatrix}\\この連立方程式を行列の簡約化を\\用いて解を求めてください。}$$

$${問題3\\\begin{Bmatrix} 3x - 2y = 7 \\ -4x + 3y = - 8 \end{Bmatrix}\\この連立方程式を行列の簡約化を\\用いて解を求めてください。}$$

$${問題4\\\begin{Bmatrix}3x - 2y = 4 \\6x + 2y = 12\end{Bmatrix}\\この連立方程式を行列の簡約化を\\用いて解を求めてください。}$$

応用問題

$${問題5：\\行列 C,逆行列 C^{-1} が次のように与えられています。\\C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix},\quad C^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\\逆行列 C^{-1}を利用して、\\連立方程式\begin{Bmatrix} x + 2y = 5 \\ 3x + 5y = 11 \end{Bmatrix}の解を求めてください。}$$

$${問6：\\行列 D,E が次のように与えられています。\\D = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},E = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\\積DE を計算し、結果を連立方程式\\\begin{Bmatrix} 2x + 5y = 2 \\ x + 3y = 2 \end{Bmatrix}に適用して解を求めてください。}$$

$${問7：\\行列の簡約化を利用して解を求めてください。\\\begin{Bmatrix} x - y + z = 2 \\ -2x + 3y + z = 2 \\ 4x -2y + 8z = 18 \end{Bmatrix}}$$

解答

問１

$${解答1\\\\\begin{Bmatrix} 2x - y = 3 \\ 4x + y = 9 \end{Bmatrix}は\Leftrightarrow{\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&3\\4&1&9\end{array}\right)}と書き換えられます。\\ここで\\行列を簡約化すると\\\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&3\\4-(2×2)&1-(2×(-1))&9-(2×3)\end{array}\right)\\\sim{\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&3\\0&3&3\end{array}\right)}\sim{\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&3\\0&1&1 \end{array}\right)}\\\sim{\left(\begin{array}{cc|c}2+0&-1+1&3+1\\0&1&1\end{array}\right)}\sim{\left(\begin{array}{cc|c}2&0&4\\0&1&1\end{array}\right)}\sim{\left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&1\end{array}\right)}\Leftrightarrow\begin{Bmatrix} x=2\\y=1 \end{Bmatrix}\\よって、解は \begin{Bmatrix} x = 2 \\ y = 1 \end{Bmatrix} です。}$$

問2

$${解答2.\begin{Bmatrix} x + 6y = -9 \\ 3x + 2y = 5 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 6 & -9 \\ 3 & 2 & 5 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 6 & -9 \\ 3 - 3 × 1 = 0 & 2 -3 × 6 = -16 & 5 -3 × (-9)  =32 \end{array}\right)\\ \sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 6 & -9 \\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 6 - 6 × 1= 0 & -9 - 6 × (-2) = 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right) \\よって解は \begin{Bmatrix} x = 3 \\ y = -2 \end{Bmatrix}}$$

問3

$${解答3.\begin{Bmatrix} 3x - 2y = 7 \\ -4x + 3y = - 8 \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc|c} 3 & -2 & 7 \\ -4 & 3 & -8 \end{array}\right)\sim \\\left(\begin{array}{cc|c} 3 & -2 & 7 \\ -4 + \frac{4}{3}× 3 =0 & 3 + \frac{4}{3}× (-2) =  \frac{1}{3}  & - 8 + \frac{4}{3} × 7 =  \frac{4}{3} \end{array}\right)\\\left(\begin{array}{cc|c} 1 & \frac{-2}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 &  \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}\right) \sim  \left(\begin{array}{cc|c} 1  & \frac{-2}{3}  + (2 ×  \frac{1}{3})= 0  & \frac{7}{3} + (2× \frac{4}{3})=5   \\0 &  \frac{1}{3} & \frac{4}{3}\end{array}\right)\\\sim\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0& 5 \\ 0 &  1 & 4 \end{array}\right)よって解は \begin{Bmatrix} x =５ \\ y = 4 \end{Bmatrix} です。}$$