はじめての線形代数 練習問題3

今回はこちらの記事の練習問題と解説をしようと思います！

問題

基本問題

$${問1：次の行列 A のrankを求めよ\\A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}}$$

$${問2：次の行列 B のrankを求めよ\\B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 8 \end{pmatrix}}$$

$${問3：与えられた行列 C の逆行列を簡約化して求めなさい。\\C = \begin{pmatrix} -3 & 7  \\  2&-5\end{pmatrix}}$$

応用問題

$${問4：与えられた行列 D の逆行列を簡約化して求めなさい。\\C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix}}$$

$${問5：\\行列Eが次のように与えられています。\\E=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\1.行列 E のランクを求めてください。\\2.行列 E の逆行列を求めてください。}$$

$${問6：逆行列の性質を利用して\\次の連立方程式の解を求めなさい。\\x+4y=10\\4x+3y=1}$$

解説

問1

$${解説1：簡約化の手順は以下の通りです。\\ \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6  \\ 1 & 2 & 3  \\ 3 & 6 & 9  \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3  \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0  \end{pmatrix}  \\1行目を半分にすると、2行目が1行目と同じであるため、行2は無視します。\\同様に3行目は1行目の3倍になるため、行3も無視します。\\従って、この行列 (A) のランクは1です。}$$

問2

$${解説2：簡約化の手順は以下の通りです。\\  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3  \\ -2 & 1 & 1  \\ 5 & 2 & 8  \end{pmatrix}  \sim  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3  \\ 0 & 1 & 7  \\0 & 2 & -7  \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -5  \\ 0 & 0 & -21 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\   よってこの行列 (B) のランクは3です。}$$

問3

$${解3：\left( \begin{array}{cc|cc}-3 & 7 & 1 &  0 \\ 2 & -5 & 0 & 1 \end{array} \right) \sim \left(\begin{array}{cc|cc}-3+4 & 7-10 & 1 &  2 \\ 2 & -5  & 0 & 1 \end{array} \right) \\\sim \left( \begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 1 &  2 \\ 2 & -5 & 0 & 1 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cc|cc}1 & -3 & 1 &  2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \end{array} \right) \\ \sim \left( \begin{array}{cc|cc}1 & 0 & -5 &  -7 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \end{array} \right)\\この行列 (C) の逆行列は次のようになります。\\C^{-1} = \begin{pmatrix}-5&-7\\-2&-3\end{pmatrix} \\計算の過程はかなり省略した部分が多く見ずらいと思いますが\\最終的に行列の左側が単位行列になるようにすればよいです。\\\left( \begin{array}{cc|cc}-3 & 7 & 1 &  0 \\ 2 & -5 & 0 & 1 \end{array} \right) \sim \left(\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{-7}{3} & \frac{-1}{3} &  0 \\ 2 & -5  & 0 & 1 \end{array} \right)\\このようにはじめの変形で1行目を-3で割ってから始めても\\最終的な答えは同じになります。}$$