全教科ごちゃまぜ総合自作模試

2024年8月31日 12:35

1. はじめに

昨今、大学入試改革が盛んである。私は2019年に大学に入学したものの、数年後よりセンター試験が共通テストとなり、より思考力が必要となった。
これからは科目の壁を越えた、総合的な読解力が求められるだろうと考え、大学1年生のとき（2019年）にLaTeXの練習も兼ねて自作で想定問題を作成した。

想定としては(理系)高1～2年、80分である。知識ベースの一問一答というより、知識に基づいた応用を必要としている。誘導はあるものの、難易度は高めである。

誤字脱字や言い回しが下手な部分、体裁が不十分な部分もあるが、見逃していただきたい。科学的に誤りの箇所があったらごめんなさい。

2. 一部問題抜粋と個人的講評

解きたい人はネタバレになるので注意してください。自作の問題文のところは書き起こしています。

大問1

英文読解とその内容に基づいた化学の設問である。
実は高校2年生のときに作成した大問だが、個人的にお気に入りである。
2語目から「bout」を注無しで入れてビビらす性格の悪さが出た。
問２なかなか難しいと思われる。”今の「cold」が数十年前の「hot」よりも暖かい”ということを考えられれば正解できる。
問５(1) 簡単そうで少し難しい問題。電着基盤は海域に依らず個体数が多いためしっかり読まないと「ア」を選びたくなるが、石垣の電着基盤と阿嘉の素焼きでは個体数が同じであるため、基盤は影響しない。
(2) 文章をイオン反応式に起こせばよい。

【問題】
問６地球温暖化はサンゴに文中で述べられた事象だけでなく，他の面でも影響を及ぼしている．それは，大気中に放出された二酸化炭素を海洋が吸収することにより海洋中のpHが低くなる海洋酸性化という現象である．海洋酸性化はサンゴの骨格の成長に対して負の影響を与えると考えられている．

（1）北極や南極などの極域の海洋は，海洋酸性化の影響を他の地域の海洋よりも強く受けている．その理由を考察せよ．ただし，溶媒との反応や分子間力を無視したとき溶媒中でも気体の状態方程式，$${PV=nRT}$$が成り立つとする．$${P}$$は気体の圧力，$${V}$$気体の体積，$${n}$$は気体の物質量，$${R}$$は定数，$${T}$$は気体の温度である．

（2）太字部分の理由を化学反応式を用いて考察せよ．ただし，水素イオンは炭酸イオンと容易に中和反応を起こす．

問７サンゴはカルシウムポンプを利用し，エネルギーを消費して外部からカルシウムイオンを取り入れて炭酸カルシウムを生産して骨格を形成してる．しかしほとんどのサンゴにおいて，夜間は昼の3分の1以下の炭酸カルシウムしか生成していない．その理由を考察せよ．

問６（1）は海洋酸性化の話題である。ヘンリーの法則がベースになっている。炭酸飲料がヌルいと気が抜けることを思い出すとよいだろう。極域の海洋は低温で二酸化炭素が溶けやすい。状態方程式に関して、海水中の気体の濃度が海水温に反比例することを言いたい。
問６（2）は問５(2)の関連である。問題文中にもあるとおり、サンゴの骨格である炭酸カルシウムが分解されるような反応式を考えればよい。略解として、$${\mathrm{H}^++\mathrm{CO}_3^{2-}\rightarrow\mathrm{HCO}_3^-}$$が進むことにより、$${\mathrm{CaCO}_3\rightarrow\mathrm{Ca}^{2+}+\mathrm{CO}_3^{2-}}$$の反応が促進されるため。問７の問題文もヒントになっている。
問７は光合成に関することが記述できていればよい。英文の注にヒントが書かれていた（こんなことをしていいとは思わないが）

大問2

光をテーマにした量子寄りの物理。文字が多いだけでそんなに難易度は高くないだろう。

【問題】
問３光子の持つエネルギー$${E}$$を，光速$${c}$$，プランク定数$${h}$$，波長$${\lambda}$$を用いて表わせ．ただし，$${c=\nu\lambda}$$が成り立つ．

問３問題文【A】中の$${E=h\nu}$$を用いて式変形すればいいだけであるが、習っていないだろうのでビビると思われる。

【問題】
【B】電磁波のうち，ヒトの目で見える波長のものを可視光線という．可視光線に相当する電磁波の波長は下界は360～400 nm，上界は760～830 nmである．各波長の可視光線の色は，日本語では波長の短い側から順に，紫，青，水色，緑，黄，橙，赤で，一般的に七色といわれるが，これは連続的な移り変わりである．可視光線においてヒトの色覚は短波長側，長波長側で弱くなる．可視光線より波長の短いものを紫外線(10～380 nm)，長いものを赤外線(760 nm～$${1\times10^{6}}$$ nm)と呼ぶ．また，紫外線よりも波長が短いものはX線やガンマ線で，赤外線よりも波長が長いものは電波やマイクロ波である．X線やガンマ線は，電波やマイクロ波よりも人体に悪影響を与えることで知られている．X線やガンマ線が電波やマイクロ波よりも大きいエネルギーを持っているからである．

問４太字部分の理由を考察せよ．

問５昼間，空が青いのはなぜか．その理由を考察せよ．ただし光の波長よりも短い直径の粒子に光が衝突するとき，その振動数$${\nu}$$の光の散乱される度合いは以下の式で表される．

$${I=I_{0}\dfrac{8\pi Ne^{4}\nu^{4}}{3m^{2}c^{4}{\nu_{0}}^{4}} \nonumber}$$

ここで，$${I_{0}}$$は入射光の強度，$${N}$$は振動子の数，$${m}$$は振動子の質量，$${e}$$は振動子の電荷，$${c}$$は光速，$${\nu_{0}}$$は振動子の振動数でいずれも定数である．なお，酸素分子や窒素分子は光の波長よりも短い直径の粒子である．

問４は問３がヒントになっている。問５は$${\dfrac{\nu^4}{c^4}}$$に着目したい。それ以外は定数で無視できるかがポイント。空が青い理由を問題にしたいための誘導であった。

【問題】
【C】ホタルの発光は発光反応の基質であるルシフェリンが酵素であるルシフェラーゼの触媒作用によって生物の体のなかに広く存在するATPと反応して生じた中間体がさらに酸素と反応し，発光体であるオキシルシフェリンが生成することによって起こる．オキシルシフェリンはエネルギーの高い状態にあり，安定した状態になるためにエネルギーを光として放出する．野生型では黄緑色に光る．反応が始まる前，発光の直前，そして発光した後のルシフェラーゼの立体構造を比較してみると，発光直前の段階で288番目のアミノ酸であるイソロイシンが発光体であるオキシルシフェリンのほうに大きく張り出していることがわかった．発光前のエネルギーの高い状態から安定な状態に変化するとき，その差が大きいと放出するエネルギーが大きくなるが，変異型ではオキシルシフェリンが動く自由度があるためにエネルギーの一部が光ではなく熱として無駄使いされる．遺伝子改変によって288番目のイソロイシンからメチル基を外して小さくしたバリンをもつルシフェラーゼ，さらにもうふたつメチル基を外したアラニンをもつ変異体のルシフェラーゼを作った．イソロイシンより小さな構造をもつこれらの酵素は，オキシルシフェリンをしっかり包み込むことができない．

問６バリン型のルシフェラーゼ，アラニン型のルシフェラーゼはそれぞれ何色に発光すると考えられるか．理由とともに考察せよ．

問６も高2のときに作成した問題である。エネルギーと光の波長をテーマにしている。問題文をしっかり読めば解ける。（略解：バリン型のルシフェラーゼは橙、アラニン型のルシフェラーゼは赤）

大問3

ゲーム理論と数学をテーマにしている。ややこしくて難しいと思われる。
問１は問４の誘導となっている。$${x}$$に関して平方完成をすると負の2乗の項が2個と正の定数の項になるので、1, 2項目を0にするような$${x}$$と$${y}$$を選べば良い。問２は作問時に期待値が学習指導要領外だったため入れた問題である。

【問題】
【B】AとBの二人が，グーで勝てば3点，チョキで勝てば6点，パーで勝てば9点もらえて，負けや引き分けでは点がもらえないじゃんけんをする．ゲームに勝つ原理を考えてみる．Aがグーを出す確率を$${a_{1}}$$，チョキを出す確率を$${a_{2}}$$，パーを出す確率を$${a_{3}}$$とし，Bがグーを出す確率を$${b_{1}}$$，チョキを出す確率を$${b_{2}}$$，パーを出す確率を$${b_{3}}$$とする．Aがグーを出したときのAが得る点の期待値は①，チョキを出したときのAが得る点の期待値は②，パーを出したときのAが得る点の期待値は③であり，このゲームでAが得る点の期待値は④となる．Aはこのゲームで得る点の期待値の値が最も大きくなるように，$${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$$を決めればよい．

問３空欄①～④に入る値を，$${a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}}$$から必要な文字を用いて表わせ．

問４太字部分の条件をみたす$${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$$を定めよ．ただしAとBは対等でBもAと同じ戦略を取るので，$${a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2}, a_{3}=b_{3}}$$と考えるのが妥当である．

略解：問３①$${3a_1b_2}$$②$${6a_2b_3}$$③$${9a_3b_1}$$④$${3a_1b_2+6a_2b_3+9a_3b_1}$$、問４は問１と$${a_1+a_2+a_3=1}$$を用いることで、$${a_1=\dfrac{1}{2}, a_2=0, a_3=\dfrac{1}{2}}$$となる。

【問題】
【C】AとBの二人が，ゲームをする．Aが確率$${p}$$で戦略$${A_{1}}$$を，確率$${1-p}$$で戦略$${A_{2}}$$を選び，Bが確率$${q}$$で戦略$${B_{1}}$$を，確率$${1-q}$$で戦略$${B_{2}}$$を選ぶ．Aが戦略$${A_{1}}$$を選んでかつBが戦略$${B_{1}}$$を選んだときにAが勝ったらAに3点が入り，Bが勝ったらBに4点が入る．Aが戦略$${A_{1}}$$を選んでかつBが戦略$${B_{2}}$$を選んだときにAが勝ったらAに5点が入り，Bが勝ったらBに3点が入る．Aが戦略$${A_{2}}$$を選んでかつBが戦略$${B_{1}}$$を選んだときにAが勝ったらAに6点が入り，Bが勝ったらBに2点が入る．Aが戦略$${A_{2}}$$を選んでかつBが戦略$${B_{2}}$$を選んだときにAが勝ったらAに1点が入り，Bが勝ったらBに4点が入る．引き分けることはなく，負けたら点は入らない．このゲームでAが得る点の期待値は⑤，このゲームでBが得る点の期待値は⑥である．AもBもこのゲームで得る点の期待値の値が最も大きくなるようにしたい．Aは$${p}$$を操作できるので$${f(p)=}$$⑤とおける．同様にBに関しては$${g(q)=}$$⑥とおける．$${f(p)}$$が最大となる$${p}$$は$${q}$$の条件に拠り，同様に$${g(q)}$$が最大となる$${q}$$は$${p}$$の条件に拠る．そのことを考慮してAとBの最適戦略を表す$${q=f(p)}$$と$${p=g(q)}$$のグラフを第一象限のみの$${pq}$$平面上に図示したらグラフは一点で交わり，その点はナッシュ均衡と呼ばれる．

問５空欄⑤，⑥に入る値を，$${p, q}$$から必要な文字を用いて表わせ．

問６太字部分のグラフを第一象限のみの$${pq}$$平面上に図示せよ．

問７ナッシュ均衡時，AとBがこのゲームで得る点の期待値をそれぞれ求めよ．

略解：問５⑤$${-7p\left(q-\dfrac{4}{7}\right)+5q+1}$$⑥$${3q\left(p-\dfrac{2}{3}\right)+4-p}$$、問６は鉤十字形のグラフになる。交点がナッシュ均衡である。問７A：$${\dfrac{27}{7}}$$B：$${\dfrac{10}{3}}$$

【D】ある犯罪に関する容疑で捕まった二人の容疑者が，意思疎通の出来ない別々の部屋で尋問を受けている．この二人が取る選択肢は自白する，自白しないのいずれかで，自白の状況によって受ける刑罰の重さが異なる．一人が自白し，もう一人が自白しないとき，自白した方は無罪だが自白しない方は懲役10年，二人とも自白しない場合は懲役2年，二人とも自白した場合は懲役5年である．お互いに，相手が自白せずに自分が自白するという選択肢が一番最適であると考えるが，相手も自白した場合は無罪にはならないというリスクがある．さらにお互いが自白しないという選択肢をとった場合は懲役年数は最も短い2年となる．このように，各人が自分にとって一番最適な選択肢を選んだ結果，協力した時よりも悪い結果を招いてしまうことを囚人のジレンマと呼ぶ．全体の利益が最大化された状態，つまりこの場合だと⑦ときの状態をパレート状態，個々人にとっての合理的な判断で互いに現状から変わる必要のない安定した状態，つまりこの場合だと⑧ときの状態をナッシュ均衡と呼ぶ．パレート状態とナッシュ均衡が一致しない矛盾を表しているのが，この囚人のジレンマである．

問８空欄⑦，⑧に入る文章として適切なものをア～ウのうちからそれぞれ1つ選び答えよ．
ア　二人とも自白する
イ　二人とも自白しない
ウ　一人が自白し，もう一人が自白しない

問９下線部について．現実社会にある囚人のジレンマについて，「パレート状態」，「ナッシュ均衡」という語句を用いて具体例を説明せよ．

略解：問８⑦イ⑧ア、問９は以下が例

大問4

和文英訳、自由英作、申し訳程度の漢字書き取り問題。ここで歴史関連の論述を出すのも面白いと思われるが、知識が無かったため断念。

3. おわりに

いかがでしたでしょうか。昔は暇だったんですね。今見ると色々と改善点が浮かんできますが、どこにも公開できる場所がなかったため転がしました。将来的に大学入試がこのような形になったら面白いなと思います。内容は置いておいて、そのようなサンプルだと思ってくだされば十分です。

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