矩形数とオイラー

今日は3月6日(金)。

306は9の倍数です。

なぜなら、

3+0+6=9が9の倍数だからです。

実際、306は次のように素因数分解できます。

306=2×3×3×17

実は、306は次のようにも表せます。

306=17×18

連続する2つの数のかけ算になっていますね。このような数を矩形数(くけいすう)といいます。

矩形数とは、

連続する2つの数のかけ算で表せる数

つまり、nを自然数として

n × (n+1)

と表せる数のことです。

具体例。

0 = 0×1
2 = 1×2
6 = 2×3
12 = 3×4
20 = 4×5
30 = 5×6
42 = 6×7
56 = 7×8
72 = 8×9
90 = 9×10
110 = 10×11

100円の税込み価格(10%)である110円も、矩形数なんですね。

ちなみに、矩形数になる日付は以下の通りです。

110 = 10×11
210 = 14×15
306 = 17×18
420 = 20×21
506 = 22×23
702 = 26×27
812 = 28×29
930 = 30×31
1122 = 33×34

1年間で9日のみ！

9 / 366 ≒ 2.5 %

なので、かなりレアです。上の誕生日の人はラッキーですね笑。

さて、タイトルに「オイラー」とありますが、いったいどういうことでしょうか？

オイラーの素数生成多項式というものがあるのです。

n^2 + n + 41

という式です。(「^2」は二乗を表します)

実は、nに0から39を代入すると、すべて素数になります！

つまり、

最初の40個の矩形数に41を足すと、すべて素数になります。

(n × (n+1) = n^2 + n ですからね)

一部を確認にすると、

★n=0

0^2 + 0 + 41 = 41 → SOSU !

★n=1

1^2 + 1 + 41 = 43 → SOSU !

★n=2

2^2 + 2 + 41 = 47 → SOSU !

:
:

★n=39

39^2 + 39 + 41 = 1601 → SOSU !

ずっと素数が続くのです。

(他の部分が素数かどうかも確かめてみてください！)

思わず

SOSU !

SOSU !

:
:

と叫びたくなりますね…笑。

いかがでしたか？

矩形数がどんな数かわかりましたか？

おさらいすると、

矩形数とは、

・連続する2つの数のかけ算で表せる数

・nを自然数として

n × (n+1)

と表せる数

矩形数の日付は少ないので、合わせて紹介させていただきました。

難しい数ではないと思うので、日常生活で矩形数がないか探してみてください！

素数はいつも、あなたのそばに。

Let's enjoy SOSU!

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。