【弾性力学】ひずみの適合条件式の導出と十分性の確認

弾性力学に出てくる、ひずみの適合条件式の導出を行います。

ひずみの適合条件式については、ネットで検索しても、微小変形$${u_i}$$の偏微分を行って式の導出をしている記事や講義資料はあったものの、微小ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$から積分によって$${u_i}$$を再構成しているものはほぼ見当たらず、あったとしても説明が省略されていたりと不十分なものであったため、ここにまとめます。
（上記も含めベクトルやテンソルは添字表記で成分を扱います。添字$${i, j, k, l}$$は特に断りがなければ、$${x, y, z}$$を意味する$${1, 2, 3}$$のいずれかを取っています。）

ひずみの適合条件式とは、微小ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$が与えられたときに、もととなる微小変形$${u_i}$$を（いくつかの定数項を除いて）矛盾なく再構成できるための条件で、以下の式で与えられます。

$$
\frac{\partial ^2 \varepsilon_{ij}}{\partial x_k \partial x_l} + \frac{\partial ^2 \varepsilon_{kl}}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial ^2 \varepsilon_{ik}}{\partial x_j \partial x_l} + \frac{\partial ^2 \varepsilon_{jl}}{\partial x_i \partial x_k}
$$

この式が成立することは、微小ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$の定義

$$
\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)
$$

から偏微分を続けることで示すことができます。ただ、これでは「ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$を与える変形$${u_i}$$が存在」⇒「ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$の適合条件式」となるため、必要性の確認しかできていません。
以下では、微小変形$${u_i}$$を微小ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$の積分で構成する式を求め、その積分（線積分）が経路によらない条件として適合条件式を導出します。

微小変形を再構成する積分

まず、微小ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$と対になる、微小回転$${\omega_{ij}}$$を次のように定義します。（以下では、変形、ひずみ、回転と書き「微小」は省略します。）

$$
\omega_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)
$$

すると、変形$${u_i}$$の偏微分は次のようになります。

$$
\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \varepsilon_{ij} + \omega_{ij}
$$

さらに、回転$${\omega_{ij}}$$を偏微分すると、

$$
\begin{array}{lll}
\dfrac{\partial \omega_{ij}}{\partial x_k} &=& \dfrac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_k} - \dfrac{\partial^2 u_j}{\partial x_i \partial x_k} \\[10pt]
&=& \dfrac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_k} + \dfrac{\partial^2 u_k}{\partial x_i \partial x_j} - \dfrac{\partial^2 u_k}{\partial x_i \partial x_j} - \dfrac{\partial^2 u_j}{\partial x_i \partial x_k} \\[10pt]
&=& \dfrac{\partial \varepsilon_{ik}}{\partial x_j} - \dfrac{\partial \varepsilon_{jk}}{\partial x_i}
\end{array}
$$

のように、ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$の偏微分で表せることが分かります。これらの式を組み合わせると、2回の積分（線積分）を行うことで、ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$から変形$${u_i}$$を再構成することができます。具体的には、以下の2式になります。

$$
u_i = u_i ^0+ \int _{\bm{0}}^{\bm{x}}  \sum_j \left( \varepsilon_{ij} + \omega_{ij} \right) \mathrm{d}x_j
$$

$$
\omega_{ij} = \omega^0_{ij}+ \int _{\bm{0}}^{\bm{x}}  \sum_k \left( \frac{\partial \varepsilon_{ik}}{\partial x_j} - \frac{\partial \varepsilon_{jk}}{\partial x_i} \right) \mathrm{d}x_k
$$

積分定数として出てくる$${u^0_i}$$と$${\omega^0_{ij}}$$は、剛体的な平行移動と回転（のようなもの）を表しています。微小変形で考えているため、ここでの回転は$${\cos \theta \simeq 1, \sin \theta \simeq \theta}$$としたときの回転行列と恒等変換の差（つまり、反対称成分に$${\pm \theta }$$）です。
$${\varepsilon_{ij}}$$から変形$${u_i}$$を求めるにあたって問題となるのは、これらの線積分が経路によらない値を持つかどうかです。

線積分が経路によらない条件

線積分が経路によらず、端点のみで決まるための必要十分条件は、ここでは証明を省きますが、以下のようになります。（ストークスの定理から示すことができます。）

$$
\int_C \sum_j f_j \mathrm{d}x_j  が積分経路Cによらず、端点のみで決まる\\
\iff \frac{\partial f_j}{\partial x_k} = \frac{\partial f_k}{\partial x_j}
$$

この条件を上に出てきた2つの線積分に適用していきます。
まず、回転$${\omega_{ij}}$$を求める線積分が経路によらない条件は、

$$
\begin{array}{rcl}
\dfrac{\partial }{\partial x_l} \left( \dfrac{\partial \varepsilon_{ik}}{\partial x_j} - \dfrac{\partial \varepsilon_{jk}}{\partial x_i} \right)
&=& \dfrac{\partial }{\partial x_k} \left( \dfrac{\partial \varepsilon_{il}}{\partial x_j} - \dfrac{\partial \varepsilon_{jl}}{\partial x_i} \right) \\[10pt]
\iff \dfrac{\partial ^2 \varepsilon_{ik}}{\partial x_j \partial x_l} - \dfrac{\partial ^2 \varepsilon_{jk}}{\partial x_i \partial x_l} &=& \dfrac{\partial ^2 \varepsilon_{il}}{\partial x_j \partial x_k} - \dfrac{\partial ^2 \varepsilon_{jl}}{\partial x_i \partial x_k} \\[10pt]
\iff \dfrac{\partial ^2 \varepsilon_{ij}}{\partial x_k \partial x_l} + \dfrac{\partial ^2 \varepsilon_{kl}}{\partial x_i \partial x_j} &=& \dfrac{\partial ^2 \varepsilon_{ik}}{\partial x_j \partial x_l} + \dfrac{\partial ^2 \varepsilon_{jl}}{\partial x_i \partial x_k} 
\end{array} 
$$

となります。最後の式変形では、添字の書き換え$${j \leftrightarrow l}$$を行っています。
これは、最初に確認したひずみの適合条件式そのものです。
一方で、変形$${u_i}$$を求める線積分が経路によらない条件は、

$$
\begin{array}{rcl}
\dfrac{\partial }{\partial x_k} \left( \varepsilon_{ij} + \omega_{ij} \right)
&=& \dfrac{\partial }{\partial x_j} \left( \varepsilon_{ik} + \omega_{ik} \right) \\[10pt]
\iff \dfrac{\partial \varepsilon_{ij}}{\partial x_k} + \dfrac{\partial \varepsilon_{ik}}{\partial x_j} - \dfrac{\partial \varepsilon_{jk}}{\partial x_i}
&=& \dfrac{\partial \varepsilon_{ik}}{\partial x_j} + \dfrac{\partial \varepsilon_{ij}}{\partial x_k} - \dfrac{\partial \varepsilon_{kj}}{\partial x_i} \\[10pt]
\iff \hspace{80pt} 0 &=& 0  \hspace{10pt}（常に成立）
\end{array}
$$

となり、こちらは何も気にしなくても値が定まることになります。
回転$${\omega_{ij}}$$の偏微分は、先ほども導出はしていますが、ここではひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$しか知らないという立場のため、線積分の偏微分から計算しています。

$$
\dfrac{\partial \omega_{ij}}{\partial x_k} = \dfrac{\partial}{\partial x_k} \int _{\bm{0}}^{\bm{x}}  \sum_l \left( \frac{\partial \varepsilon_{il}}{\partial x_j} - \frac{\partial \varepsilon_{jl}}{\partial x_i} \right) \mathrm{d}x_l = \frac{\partial \varepsilon_{ik}}{\partial x_j} - \frac{\partial \varepsilon_{jk}}{\partial x_i}
$$

以上から、ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$が与えられたときに、剛体変形分を除いて変形$${u_i}$$を再構成するための条件は、ひずみの適合条件式であることが分かりました。
「ひずみの適合条件式」⇒「ひずみ$${\varepsilon_{ij}}$$を与える変形$${u_i}$$が存在」も示せたため、ひずみの適合条件式の十分性も確認できたことになります。

参考文献

そのものズバリな参考文献がなかったため、これらを見ながら導出を行いました。

1. 岩熊 哲夫・小山 茂『鬆徒労苦衷有迷禍荷苦痛』（ストラクチャルメカニクス）　3.1.7 ひずみの適合条件
   http://mechanics.civil.tohoku.ac.jp/bear/nisikozo/s1node11.html
   回転を与える式が正しくないですが、方針はこちらに従いました。

2. 藤本二男『弾性体固有応力の一般理論』国士舘大学工学部紀要 15, 1982
   https://kokushikan.repo.nii.ac.jp/records/5880
   リーマン幾何学を用いたひずみの一般論が展開されています。詳しく読めていないですが、(6)式が今回の内容を一般化したものだと思います。