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整数解だからこそ、わかること(東京学芸大)
今回は、整数解の問題です。問題はこちら。
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一見すると、ただの3次方程式ですが、情報に整数解があることに注目します。
整数(解)の鉄則は、積の形を作ることです。本問は、これがすべてともいえる問題です。
なので、
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と変形します。
整数解をもつxにおいて、上記のように積の形になったのであれば、
x^2+ax+bも整数であり、xとx^2+ax+bは、それぞれ、1またはー1しかありません。ここが突破口です。
あとは、場合わけですが、x=1、x=ー1で場合分けするのがセオリーでしょう。
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あとは、ⅹ^2+(a+1)xー1が虚数解をもつ条件を適用します。
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同様に
x=ー1でも検証します。
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これも同様に判別式で確認をします。x=1が不適なので、こちらで答えがでるのだろうと予想しながら計算します。
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よって、
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として出すことができました。
本問は整数解をもつことで、何が言えるのかを考えることの重要性を理解できる問題だったと思います。
応用力をつける良問だと思います。