【解説】統計検定 2019年準1級 問11（確率行列）

問題本文

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問題解説（1）

【問題要約】
ある時、格付けAの企業が100社、Bの企業が20社、Cの企業が0社あり、翌年の格付けではAからBへの格下げが5社、BからAへの格上げが1社存在した。

格付けの推移がマルコフ連鎖に従い、以下の推移確率行列Mで表される時、θの最尤推定値を小数点第3位を四捨五入した値で答えよ。
ただし、φの値を0.01と仮定する

【回答】
θ = 0.05

【解説】
まずは、ある年の格付けの推移状況を確認しましょう。

格付けの推移状況
100社存在するA企業の内、95社がA在留、5社がB格下げ
20社存在するB企業の内、1社がA格上げ、19社がB在留
Cへの格上げ、格下げはなし

以上の推移状況をまとめると、以下の表になります。

以上の表から尤度関数L(θ)を求めます。
ここで仮定の通り φ = 0.01 と置きます。

ここで求めた尤度関数L(θ)から以下の通りθの最尤推定値を求めます。
余談ですが、対数を取るのは計算を楽にする為、微分を取るのは最大値（最尤推定値）を求める為です。

ここから時短のため、θの値が(0.045 ≦ θ < 0.055)であることを確認します。
θに各値を代入した結果が以下の通りとなります。

よって、θの値は(0.045 ≦ θ < 0.055)であることが分かるため、少数第3位を四捨五入した答えは0.05となります。

問題解説（2）

【問題要約】
確率推移行列Mの固有値λiを直行行列Uを用いて以下の通り表す。
この時、格付けAの企業がn年後にCに格下げされている確率をn, λ, uを用いて答えよ。

【回答】

【解説】
公式解説では説明がほとんどないため、まずは問題を解く前に具体的なイメージを持つためにも、格付けAの企業の3年後までの推移確率を見ていきましょう。

格付けAの企業の推移確率
開始時: A(100%), B(0%), C(0%)
1年後: A(95%), B(5%), C(0%)
2年後: A(90.50%), B(9.45%), C(0.05%)
3年後: A(86.44%), B(13.40%), C(0.14%)

ここからn年後の推移確率を求めるためには、上の操作をn回繰り返せば良いことが分かります。

また、推移確率行列M^nを求めることでも計算は可能です。
以下の推移確率行列の1列目の値が等価であることを確認してみてください。

ここからn年後に格付けAの企業がCに格下げされる確率を求めるためには、M^nを計算して、3行1列目の値を参照すれば良いことが分かります。

ここまでが答えを求めるための大まかな道筋となりますが、本問の解答では固有値λ, 年数n, 直行行列の要素uを用いる必要があります。

また、直行行列の要素uは固有ベクトルになるため、『固有値, 固有ベクトルを用いて推移確率行列M^nの3行1列目の値を表現すれば良い』と言い換えることができます。

ここまで分かれば、後は以下の通り計算するだけとなります。

固有値と固有ベクトル
λ1: [u11, u12, u13]
λ2: [u21, u22, u23]
λ3: [u31, u32, u33]