整数問題（地方上級 H29）

卒業生からラインが来ました。
前回とは違う地方上級公務員の過去問について、解答と解説はあるけど、解答も別解も何を言ってるのかよく分からない…って質問でした。

解答と解説も読みましたが、正攻法で簡単な問題をわざわざ難しく説明しているように思いました。

20230915 追記
記事の最後の方に、ほんのちょっぴり違う解き方があります。

問題

あるイベントの参加者は１００人以上２００人未満であった。
この参加者を何人かのグループに分けるとき、８人で分けると２人余り、１８人で分けると８人余ることが分かっている。
この参加者を７人で分けると何人余るか。

解答

よくある整数問題ですが、この問題には穴が２つあります。
ここを広げろと出題者が開けてくれてるんだと思います。

まず人数が１００人以上２００人未満しかいないのに１８人という大きな数で分けたから候補となる数が少ないです。
１８人で分けると８人余る人数は１８ｍ＋８で表せます。
ｍは０以上の整数です。
参加者は１００人以上２００人未満なので、
１００≦１８ｍ＋８＜２００
９２≦１８ｍ＜１９２
５．１…≦ｍ＜１０．６…
ｍに入る可能性のある整数は６，７，８，９，１０の５通りです。
時間はもったいないですが、５回計算すれば答えは出ます。

もう１つの穴は、８人で分けると２人余り、１８人で分けると８人余る…８が２つあることです。
８人で分けると２人余るので参加者は８ｎ＋２とも表せます。
８ｎ＋２と１８ｍ＋８は、どちらも参加者を表しているので、
８ｎ＋２＝１８ｍ＋８
両辺に８があるので、２と８をそれぞれ移項します。
８ｎ－８＝１８ｍ－２
８が２つあるから、左辺が８でくくれます。
８（ｎ－１）＝２（９ｍ－１）
両辺を２で割って
４（ｎ－１）＝９ｍ－１
９ｍ－１は４の倍数であることが分かります。
ｍの候補は６，７，８，９，１０ですが、９ｍ－１は４の倍数…偶数です。
ｍに偶数を入れると偶数－１で奇数になるので、ｍに入るのは候補のうちの奇数の７か９の２通りです。
９×７－１＝６２…４の倍数にはなりません。
９×９－１＝８０…４の倍数です。
つまりｍ＝９で１８ｍ＋８＝１８×９＋８＝１７０
問題は参加者を７で割ったときの余りですから、
１７０÷７＝２４…２
余りは２となります。

だらだらと説明したから長いですが、解くだけなら２、３分…かからないと思います。

条件に合う整数を求める…整数問題は、できるだけ候補を絞りこんで最後にちょっとだけ計算する…可能性を疑った方がいいです。

20230915 追記
教室で生徒に別の問題を教えているときに、ちょっとだけ違う解き方を思いつきました。
８ｎ＋２＝１８ｍ＋８
８ｎ＝１８ｍ＋６＝６（３ｍ＋１）
４ｎ＝３（３ｍ＋１）
４と３は互いに素なので ３ｍ＋１は ４の倍数です。
ｍ＝６，７，８，９，１０ の中で３ｍ＋１が４の倍数になるのはｍ＝９のときです。
簡単になるわけではないですが、道は１本ではないということです。
お粗末さまでした。