対数微分法

タイトル画像は夏期講座開講のお知らせと同じです。
記事が増えて新しい画像探すのと被りチェックがめんどくさくなってきてます。
前に出した薔薇のアップは、夏は暑苦しい気がして、海の写真は涼しく…もないですが、まあ…。

さて…

今年の卒業生から質問が来ました。
実は、もう１つ…というかもう２つ来てました。
１つは逆三角関数の方程式、もう１つは、この問題の続きの問題です。
３問とも$${KaTex}$$でサラサラっと書いて送ろうと思ったんですが、これがなかなか書けません。
ちょっと式が複雑で、コマンドが多くて、いちいち手が止まります。
結局、手書きで送りました。

で、書きかけの１個だけでも仕上げて公開しようと…

さて…

次の導関数を示せ。

$$
e^{x^x}(=\exp^{x^x})
$$

---

指数に$${x}$$が、めんどくさくからんでるときは対数微分法を使うことが多いです。
具体的には、求める関数を$${y}$$とおいて両辺の自然対数をとります。

$$
\begin{align*}
y&=e^{x^x}\\
\log{y}&=\log{e^{x^x}}\\
&=x^x
\end{align*}
$$

もう一度、両辺の自然対数をとります。

$$
\begin{align*}
\log{(\log{y})}&=\log{x^x}\\
&=x\log{x}
\end{align*}
$$

両辺を$${x}$$で微分します。

$$
\begin{align*}
\frac{d}{dx}\{\log{(\log{y})}\}&=\frac{d}{dx}\{x\log{x}\}\\
\end{align*}
$$

左辺は$${\log y=u}$$と置いて、

$$
\begin{align*}
\frac{d}{dx}\{\log{(\log{y})}\}&=\frac{d}{dx}\{\log{u}\}\\
&=\frac{dy}{dx}\times\frac{du}{dy}\times\frac{d}{du}\{\log{u}\}\\
&=\frac{dy}{dx}\times\frac{d}{dy}\{\log y\}\times\frac{d}{du}\{\log{u}\}\\
&=\frac{dy}{dx}\times\frac{1}{y}\times\frac{1}{u}\\
\end{align*}
$$

右辺は

$$
\begin{align*}
\frac{d}{dx}\{x\log{x}\}&=1\times\log{x}+x\times\frac{1}{x}\\
&=\log{x}+1
\end{align*}
$$

左辺＝右辺より

$$
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}\times\frac{1}{y}\times\frac{1}{u}&=\log{x}+1\\
\frac{dy}{dx}&=y \times u \times (\log{x}+1)\\
&=e^{x^x} \times \log{e^{x^x}} \times (\log{x}+1)\\
&=e^{x^x} \times x^x \times (\log{x}+1)\\
&=e^{x^x} x^x (\log{x}+1)\\
\end{align*}
$$

以上です。
逆三角関数の方程式については、また掲載するかもしれません。
今、徳島県高校総体と徳島県中学総体サッカーのお写真があるので、そちらを編集しています。