整数問題（地方上級 H16）

卒業生からの質問です。

地方上級公務員の過去問について、解答と解説はあるけど、分かりにくいし長い。
解き方はこれしかないのかって…
その解答は長いので書きませんが、４の剰余系で場合分けして考えていて、確かに長いです。
地方上級試験の過去問を見るのは３問目ですが、公務員試験ってだいたいこんな感じなんでしょうか？
こういうのばかりなら問題を解く前にちょっと考えた方がいいです。

ところで、ここ…note.comは KaTeX で数式を表示できます。
というのを最近、知りました。
LaTeXなら少しは分かりますが、KaTeXというのは初めて聞きました。
これから、できるだけ活用しようと思います。
この記事がKaTeXの１本目です。

さて…

問題

20～50までの自然数のうちで、2乗して4で割ると1余る数は何個あるか？

解答

求める数を$${n}$$とします。
$${n}$$の2乗は4で割って1余るので$${m}$$を自然数とすると

$$
\begin{align*}
n^2&=4m+1\\
\end{align*}
$$

左右入れ替えて、１を右辺に移項して因数分解します。

$$
\begin{align*}
4m&=n^2-1\\
&=(n-1)(n+1)\\
\end{align*}
$$

$${n}$$が偶数なら$${n-1}$$と$${n+1}$$はともに奇数となり、$${(n-1)(n+1)}$$は４の倍数とはなれません。
$${n}$$が奇数なら$${n-1}$$と$${n+1}$$はともに偶数…2の倍数となり、$${(n-1)(n+1)}$$は常に４の倍数になります。
つまり条件に該当する$${n}$$は、20～50にある奇数です。
20～50の奇数なら数えてもよさそうですが、一応、かっこよく求めておきます。

$${n=2N+1}$$とおいて、

$$
\begin{align*}
20&\leqq 2N+1\leqq 50\\
19&\leqq 2N\leqq 49\\
9.5&\leqq N\leqq 24.5\\
\end{align*}
$$

$${N}$$は10～24、$${n=2N+1}$$ は、21～49の15個です。

何がかっこいいか分かりませんが、数列っぽい問題は、できるだけ数列に寄せて解いた方が間違いにくいです。

以上、初KaTeXでした。

問題の解説をここ、note.com に書いて、質問してきた卒業生にリンクを送るつもりでした。
だから前の記事についても、ばれたら怒られるかもしれないイケメンの彼氏ができた話とか、間違いなく怒られる、最近、急激に横に成長して美貌の劣化が激しい話とか、危ない部分を急いで削除して普通の問題の解説だけにしました。
ところが、KaTeXの文法で思いのほか時間をくってしまって、結局、卒業生には、普通のテキストでラインに書いて送りました。
時間をくってしまったKaTeXの文法というのは、KaTeXの文法の問題ではなく、note.com でKaTexを使って数式を書いたとき、小さなウィンドウに出るプレビューは、実際の出力に忠実ではない…という、誰に文句を言っていいか分からないトラップでした。
まあ、私が悪いんでしょうけど…。
言ってよ…。
以上です。

$$
KaTeX
$$