何もない空間に巻きついて

ネットで検索すればあらゆるものが見つかる。それは幻想だった。アティア・シンガーの指数定理。幾何と解析を結びつけたと言われる数学の超重要定理は、読んだだけでは何のことかさっぱりわからない。すぐにピンとくる直感的な説明がきっとどこかにあるかと思って探してみたが、全然見つからない。なにしろ出てくる用語からして意味不明で、何の話かちっともわからない。むしろ、想像もできないようなことが証明できてしまうところが数学のすごいところなのかもしれない。

物理学のほうでは、場の量子論というのを学ぶ。ファインマン図を使って素粒子の散乱を計算する手法が代表的だが、そういうのを一通り終わったあとに「アノマリー」という章があって、「古典論での対称性が量子化で壊れる」という得体のしれない性質が解説され、ここに上記の指数定理が登場する。「藤川の方法」というアクロバット的（感動的！）な方法で少し納得した気がしているが、私の場合はどちらかというと数値シミュレーションで何度も確認したおかげで経験として受け入れるようになったというほうが正しいかもしれない。

グルーオン場は単なる波だけでなく、４次元空間に巻きついているものがある。一度巻きついたものは容易にはほどけない。ありうるのは逆向きに巻きついたものと出会って互いに消えるときだけだ。こういう巻きついたもののなかで一番単純なものはインスタントンと呼ばれる。実際にはそれだけでなく、広い空間には、巻きついたインスタントンがいくつも生まれ、逆向きに巻きついた反インスタントンもいくつもあり、さらにその周りはめちゃくちゃに揺らぐグルーオン場で満たされる。ランダムに揺らいでいると思っていたグルーオンの背景場には、ランダムなだけではない秘密があるのだ。

こうして巻きついたグルーオン場があるとき、そこを飛ぶクォークには何が起こるか。それが問題だ。ここに、アティア・シンガーの指数定理が登場する。この定理が教えてくれるのは、巻きついたグルーオン場があると、そこには必ずエネルギーがゼロのクォーク場が存在するというものだ。山あり谷ありのグルーオン場の中を拡がるクォーク場は、普通なら何もない平坦な場所を進むより進みにくい、つまり余計なエネルギーを必要とするはずだ。ここに一つだけ例外があって、それが空間に巻きついた背景場というわけだ。クォークは、空間にできた渦の上では余計なエネルギーをつかうことなく存在できる。これが、軽いパイ中間子を生む秘密につながる。

もう少し詳しく話そう。クォーク場が拡がっていくときにインスタントンに出会ったとする。右巻きのスピンをもつクォーク場がインスタントンに出会うと、何しろエネルギーゼロなので簡単に吸い込まれて、なぜか左巻きスピンのクォークを吐き出す。右巻きを吸って左巻きを吐くという性質は、インスタントンの巻きつく向きによって変わる。つまり、反インスタントンなら左巻きを吸って右巻きを吐く。右巻きと左巻きを入れ替えるこの性質は、「カイラル対称性の破れ」と呼ばれる。クォーク場は、通常のグルーオン場の中を拡がっているときは右巻きは右巻きのまま、左巻きは左巻きのままだが、インスタントンがあるときだけスピンの向きを変えることができるわけだ。実は、これがクォークが質量をもつ仕組みなのだが、ここではパイ中間子が軽い理由を話すんだった。次回はそこに進もう。

「クォークの仕組み」から再掲のうえ一部追加。