物理量の対称性

結晶のスカラー特性の物理量は，測定の方位によらないので，１つの数値により定義される．例えば，均一で一様な結晶の温度・密度は，巨視的なサンプルに比べ十分小さい”体積要素”であるが，単位胞よりは遥かに大きい（単位胞がたくさん含まれる）ような"点（体積要素）" の全てで同一である．

結晶でべクトル特性を示す物理量には，例えば，強誘電性がある．これは，構造に起因する自発分極（外部電場が存在しなくても分極している）を持つものである．$${\textrm{BaTiO}_{3}}$$などがその例で，120℃を境に，立方晶形の結晶の1軸ががわずかに縮み正方晶系になり，分極を生じる．

BaTiO_{3}

対称性$${1}$$の結晶中の分極ベクトル$${P}$$は，３つの独立なパラメータ：$${P_{1}, P_{2}, P_{3}}$$で決定される．対称性$${m}$$［ｚ軸に垂直な鏡映面］の結晶では，生じるベクトル$${P}$$は，２つの成分$${P_{1}, P_{2}}$$で完全に決定される．成分$${P_{3}=0}$$となる訳は，平面$${m}$$内にない斜めのベクトルには，鏡映同価なベクトルが必ずあり$${P_{3}}$$成分は互いに打ち消し合うからである．
軸性［回転］対称類$${2, 3, 4, 6, 2mm, 3m, 4mm, 6mm}$$の結晶では，生じるベクトル$${P}$$は，１つのパラメータ$${P_{3}}$$で記述される．$${\overline{1}}$$ のように対称心のある結晶類では，ベクトル量は存在できない；すなわち$${P=0}$$である．　　　

２階の極性テンソルで記述される特性例：
誘電体に誘起される分極現象で，結晶中の変位ベクトル$${D}$$は一般には印加される電場$${E}$$方向と一致しない（等方媒質では一致する）．これらの極性ベクトルの成分$${D_{i}}$$と$${E_{j}}$$との関係は，
$${D_{i}=\varepsilon_{ij}E_{j}}$$　　

係数$${\varepsilon_{ij}}$$は，誘電率テンソルで，べクトル$${D}$$と$${E}$$を結び付ける．一般に，要素の対称性$${\varepsilon_{ij}=\varepsilon_ {ji}}$$ があり，９つではなく６つの独立なパラメータ(上3角行列の型)をもつ．

$$
\begin{pmatrix}
\varepsilon_ {11} & \varepsilon_ {12} & \varepsilon_ {13} \\
\varepsilon_ {12} & \varepsilon_ {22} & \varepsilon_ {23} \\
\varepsilon_ {13} & \varepsilon_ {23} & \varepsilon_ {33}\\
\end{pmatrix}
$$

$${\varepsilon_{ij}}$$を係数とする２次の表面
$${\varepsilon_{11}x_{1}^{2}+\varepsilon_{22}x_{2}^{2}+\varepsilon_ {33}x_{3}^{2}+2\varepsilon_{12}x_{1}x_{2}+2\varepsilon_{13}x_{1}x_{3}+2\varepsilon_{23}x_{2}x_{3}=1}$$
は，対称テンソルに一意に関係づけられている；この表面は誘電率楕円体(ellipsoid)，あるいは一般に，現象と結びつく物理特性の屈折率楕円体(indicatrix)である．結晶の対称群$${G_{k}}$$ は，この表面の形（３軸あるいは１軸性の楕円体，あるいは，球）と結晶物理軸 $${X_{1}, X_{2}, X_{3}}$$に対する楕円体の主軸$${X_{1}', X_{2}', X_{3}'}$$ の方位を決定する．

結晶構造の対称性と誘電率テンソルの独立な成分数：
三斜晶系 ：$${(\varepsilon _{11}, \varepsilon _{12}, \varepsilon _{13}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{23}, \varepsilon _{33}）}$$
単斜晶系　：$${（\varepsilon _{11}, \varepsilon _{12}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{33}）}$$
直方晶系　：$${（\varepsilon _{11}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{33}）}$$
三方晶系，正方晶系，六方晶系　：$${（\varepsilon _{11},  \varepsilon _{33}）}$$
等軸晶系　：$${（\varepsilon _{11}）}$$