片面のみの連続平面

これまでは，片面の特異平面を持つ離散的（点の集合）な2次元周期図形（ネットワークパターン）のみを扱いました．これらの図形の裏側は表側とは異なると仮定しているため，対称変換によって表面と裏面を入れ替えることはできません．
今回扱う2次元の連続平面（つまり通常の平面）でも，表裏の2面が互いに同様な平面で表裏がある場合と，表だけで裏のない片面のみ（極性）の平面の場合があります．
一見すると，これらの議論はばかげており，連続な無限平面図形（あるいは空間）の問題自体，ユークリッド平面と異なる平面を考えるのは無駄であるようにも見えます．

しかし，私たちは，特性（特に，対称性）が互いに異なる平面の無限集合を考えるだけでなく，実際に作ることもできます．

この目的のために，まず第一に，すべての実表面は，一般に異なる物理特性を持つ2つの物体を分離する境界であるという事実を受け入れる必要があります．

■もっとも理解し易く，もっとも対称的な空間は，均一（一様）なもので，2次元空間の片面のみの面では，表面を均一な一色に塗り，裏面を黒く塗った平坦な厚紙のイメージです．このような図形の任意の点は，∞･mの対称性であることは容易に確認できます．極性対称軸∞は，表面に垂直に，至る点に通っていて，垂直な無数の対称面mがあります．均一な片面の平面の対称記号は，対称性∞･mの点を連続並進（a_{0}:a_{0})）したものだから，(a_{0}:a_{0}):∞･mと書けます．

■同様にして，均一な片面のみの面の他の対称類は，対称性∞の点を連続並進して得られます．
この表面の点には対称面がありません．この新しい平面空間を視覚化するには，両面の色が異なるように塗られた厚紙平面のすべての点で，一方向に均一に回転するのをイメージするだけで十分です．点の回転方向には2つの可能性があるため，このような空間には，左手型と右手型の2つのエナンショモルフ（対掌体）があります．新しい平面の良いモデルは，同じ方向に回転する円盤をランダムかつ均一に分布させたものです（表紙の図）．円盤とそれらの間隔は十分小さく，個々の円盤を要素として分解できない観測者には，多くの要素の振る舞いの総和として効果を観測するしかありません．これは均質な理想平面でありその対称性を(a_{0}:a_{0}):∞　と記します．

■この片面平面の例から，対称性の低い平面に進むのは容易です．
この目的には，対称性n･mあるいはnの片面ロゼットの同価な図形の無限集合を用いるれば十分です．それらの方位を揃えて平面に配置し，図形をランダムかつ均一に分布させる．図形のサイズと間隔をゼロに漸近させると，極限で，対称性(a_{0}:a_{0}):ｎ･m，あるいは，(a_{0}:a_{0}):nをもつ均質平面を得ます．
［訳者注）∞回転軸は，対称性の極限で存在する．対称性を低下させたn回回転軸も存在する］

もし，初めのモチーフ図形に片面長方形，あるいはひし形をとれば，対応する媒質のモデルは以下の図のようになります．この構造の個々の要素を見分けられない観測者には，任意に選んだ各点Oは，長方形の対称性2･mをもちます．なぜなら，どちらの図形も，点Oの周りの180°回転，あるいは，平面m_1，m_2による鏡映は，全体として自分の上に自分を変換するからであります．