人文科学のための数学1

«Математика для гуманитариев». Глава из книги • Книжный клуб

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Алексей Савватеев（A.S.）：今日は、トポロジーと呼ばれるものを扱います。多くの人が数学の中心的な分野であると考えています。数学はすべての科学の中心的な科学で、トポロジーは「中心中の中心」、つまり最も重要な分野のようです。トポロジーは20世紀初頭に形成され、次第に数学の中心にあることが明らかになりました。簡単に言えば、トポロジーは幾何と解析です。また、別の言い方をすれば、幾何学と数学的解析の両方の最も深く最も重要な法則を理解したい人は、トポロジーの観点からこれらの科学を研究する必要があります。

100年前、トポロジーはすでに十分形成されており、おそらくオイラーから始まりました。トポロジーの最も重要なオブジェクト：線、表面、体積、多次元空間の定義が定式化されました。トポロジーのオブジェクトには重要な特性、つまり次元があることがわかります。たとえば、線は1次元のオブジェクトです（この場合、線は1次元空間、2次元、3次元、さらにはいわゆる「4次元空間」などに配置できます）。表面は2次元オブジェクト（2次元空間、3次元、4次元などに配置できます）。正の体積を持つ物体は3次元の物体で、それは3次元、4次元、5次元...の空間に配置することができます。4次元、5次元、6次元...の空間にあるトポロジーのオブジェクトの特性に、人の直接的な幾何学的知覚がアクセスできないため、以下では、これらすべてを最も単純なケースで検討します。たぶん、人が「本当の」4次元に少しの短い散歩すらできないのは良いことです。そのような散歩から戻った、かわいそうな仲間は、彼の心臓が左側ではなく右側にあることに気づくかもしれません（恐ろしいことです）。したがって、4次元空間では、ジョークは良くありません。しかし、3次元空間（私たちにはとても馴染みがある）でも、トポロジーは多くの完全に驚くべき事実を明らかにすることができました。それを研究し始めましょう。もちろん、100％の厳密なプレゼンテーションに達することなく、一般的な説明レベルです。

あなたが地球儀、サッカーボール、またはスイカを持っているとしましょう。これらのオブジェクトは本質的に異なりますが、形状は同じです。平たく言えば、これらは球形です。しかし、トポロジーの観点からは、スイカは地球儀やサッカーボールとは大きく異なります。スイカの内部は物質で満たされ、地球儀とボールの内部は空です。地球儀の表皮の厚さとボールのシェルの厚さはゼロと仮定するのが妥当です。すると、地球とボールは2次元のオブジェクトになり、スイカは3次元になります。しかし、スイカの表面だけを対象にすることはできます。「元の3次元スイカの境界となる2次元オブジェクト」が得られます。以下では、ボールの表面について簡単に説明します（直径に関係なく）。ボールの直径が20cm、スイカの表面の直径が50 cm、地球儀の直径が200 cmだとします。トポロジーとは何かをよりよく理解するために、紙で接着された一辺が20cmの立方体と、立方体のエッジだけの針金細工の同じサイズの立方体も考えてみてください。合計で5つのオブジェクトがあります。共通の観点から、「丸型」（3個）と「立方体型」（2個）の2つのグループに分けることもできます。センチメートルですべてを測定することに慣れている人（たとえば、仕立て屋）の観点から、それらは異なる原則に従って2つのグループに分けられる必要があります：「約20cmの寸法のオブジェクト」（3個）、そして「より大きなオブジェクト」（2個）。そして、数学者-トポロジー学者の観点から分けると、まったく同じアイテム４つと特別なアイテム1つ（針金の立方体）です。トポロジー学者がそのように考える理由を説明します。最初の4つのオブジェクトは２次元であり、最後のオブジェクトは１次元です。したがって、トポロジーでは、直径20、50、または200 cmのボールの表面の違いだけでなく、立方体の表面とボールの表面の違いもわかりません。トポロジー学者は「魔法の眼鏡」を着用していて、オブジェクトのサイズや形状がわかりません。では、彼はそれらを通して何を見ることができるかというと、彼に提示されたオブジェクト間の最も深い違い、いわばデザインを識別することができます。たとえば、これら5つのオブジェクトに加えて外径20 cmのベーグル（ドーナツ型）を追加してみましょう。生地で満たされたベーグル自体には関心がなく、表面だけに関心があります。また、通常の針金の環（直径1cm）を追加します。では、トポロジー学者は何と言うでしょうか？「次元に関しては、2つのタイプのオブジェクトがあります。2次元と1次元です。しかし、ドーナツの表面は、ボールの表面とは根本的に大きく異なります。同様に、針金の立方体は針金の環とはまったく対照的です。したがって、ここに4つの異なるトポロジータイプがあります：ボール表面（4つのオブジェクト）、ドーナツ表面、円、針金の立方体。

ーーーーー続く