両面帯の対称性

両面帯two-sided bandの対称性

帯とは無限に続く周期図形で，１つの特異平面と，その平面内の１つの特異並進があります．片面帯はその特殊なケースで，特異平面に極性があり，その表面は裏面と異なるものです[面は１つの表面しかありません]．
一般の帯では特異面は非極性であり，2つの面が互いに一致する変換が許されています．許される変換のリストにこのような変換が追加されたので，1次元の帯飾りに適用される対称類の数は，片面帯の７つの対称類に加えて，非極性面をもつ両面帯の24の対称類が追加されます．これらの類では，新しい対称要素；2回らせん軸が出現します．

位数２のらせん軸
白と黒は3角形の表面と裏面を表します．

両面帯の31種類の対称類のパターンを，3角形のモチーフの配列で表し一覧表にしました．１，４，５，12，16，18，29の7種は，片面帯ですでに出現した対称類で，残りの24種は，両面帯で出現した対称類です．白面と黒面で表と裏を表しています．ドットのついた面は，表面と裏面が重なっている状態を表現しています．

帯のすべての対称類31種は，６つの対称要素［2_{1}は2回らせん軸］

　の独立な組み合わせで生成されます．これら31個は，1次元の空間群と呼ばれます．

■両面帯に使われる以下のモチーフの対称性は？

■紙から帯を切りとる
以下の3つの例a,b,cの縁飾りは，別々の作品ですが，それぞれ紙をどのように折って切ったのでしょうか．折り目になった線は対称面になるはずですね．