球体の2つの対称類

偏光面を回転をする液体　● 球状物質

幾何を学んだ人は，証明しなくても明らかなことを証明しなければならないときに，最大の困難を経験したでしょう．球体の対称性も同様です．球体は最も単純な図形の一つですが，最も複雑な対称性を持っている．連続等方な物質，すなわち，すべての方向が等価な物質でできた普通の球は，球の中心を通るあらゆる直径に沿って無限位数の対称軸があります．
無数にある対称面は，これら対称軸のそれぞれを含み，対称心は球の中心と一致します．これらすべての対称要素が存在する結果，球は，単純および回映の両対称軸の無限集合を含みます．球の対称要素の完全な集合を得るためには，生成要素（生成元）として，任意の角度の2つの無限回対称軸と1つの対称面を採用するだけで十分です：∞/∞･m
球体の中心はその特異点です．球の内部または表面上の任意の点は，中心から同じ距離にある等価な点の無限集合をなしています．有限群では，群の位数（群内の異なる対称変換の数）を，等価点の数とその点の多重度の積として定義しました．無限群の場合に対応する量を決定するには，群論や集合論からのより複雑な方法を用いなければなりません．
無限群では，位数の概念はべき数の概念に置き換えられます．無限群Gを無限部分群Hに対して一連の剰余類で展開すると，
G=Hg_{1}∪Hg_{2}∪････∪Hg_{s}で， Gのべき数はHのべき数にsをかけたものになる．また，群を補因子の積で表すと，その位数（べき数）は補因子の位数の積に等しい．極限キュリー群は以下のように直積⊗や半直積∅に分離できる：
∞/m=∞⊗-1, ∞mm=∞∅m, ∞22=∞∅2, ∞/mmm=(∞⊗-1)∅m, ∞∞m=∞∞∅m

群の記号の前に記号#をつけて，そのべき数を表すと，次のようになります．#∞/m=2∞, #∞mm=2∞, #∞22=2∞, #∞/mmm=4∞, #∞∞m=2(#∞∞)．ここで，∞は，群∞を示す円錐の円形断面を形成する等価な点の一次元連続体のべき数を示す．この断面のすべての点は，群∞では1倍ですが，∞mm群では2倍になります．なぜなら，対称面mがこれらの点のすべてを通過するからです．
同様に，円柱の円形断面の中央円の点は，群m, 2, mm2に属する変換の作用を受けてもそれぞれの位置が維持されるので，群∞/m, ∞22では2倍，群∞/mmmでは4倍です．群∞∞, ∞∞mでは，同価な点は，べき数∞^{2}の2次元球面連続体を形成し；これらの点の「数」にそれらの多重度である∞と2∞を乗じて得られる積が，現在の関心事の群のべき数を決定している：
#∞∞=∞^{2}･∞=∞^{3}, #∞∞m=∞^{2}･2∞=2∞^{3}.

対称類ごとに，多くの異なるタイプの図形が無限に存在することは，すでに知られています．球面対称は，この点では例外で，対称類∞/∞･mは球，正確には，任意の半径の同心球の系にのみ適用されます．

立方体の場合に，正多面体の対称類の数が3から7に増えたのは，幾何学的等価（合同性，鏡像の存在）のみならず，図形面の物理的等価を考慮したからです．この類推から，球体，すなわち，すべての方向に等しい半径を持つ図形は，いくつかの対称類を持つことが予想されます．球の対称性を考えるために，3つの球の表面（コンマの形をした非対称な鱗がある）を想像してみよう（図）．鱗の分布は任意であるが，その密度は均一である．1つ目の球の表面には右回りと左回りのコンマが同数だけあり，2つ目の球の鱗は右回りのコンマだけで構成され，3つ目の球の鱗は左回りのコンマだけで構成されています．1つ目の球を手に取り，まず左に回転させ，次に右に回転させると，右回転と左回転の摩擦力に違いはありません．どちらの場合も，手に著しい傷をつける鱗の数が等しいからです．2番目と3番目の球体では状況が異なります．これらの球体では，時計回りと反時計回りの回転に伴う摩擦が異なります．鱗付きのボールは真の球体とは見なされないので，ボールで当てはまることが，真の球体でも当てはまるとは限らないと反論するかもしれない．これに対しては，「現実の」球は，ある有限の精度以上には理想的な法則を満たさない物質的な球でしかありえないと答えよう．さらに，理想的な球であっても，鱗が無限に小さければ，鱗状になる可能性があります．
また，対称面のない球体の例として，透明なガラス球に，有機物（砂糖など）の水溶液を入れると，光線の偏光面が左または右に回転します．このような球体に偏光を通すと，溶解した物質の性質に応じて偏光面が右回り，左回りに回転する．
このように，理論的にも実際にも，球の対称性には2つの類が存在することがわかります．最初の類（∞/∞･m)では，無限個の対称面，無限個の無限位数の対称軸，および，対称心があります，2番目のクラス(∞/∞)では，対称面と対称心はありません．軸以外の対称要素が存在しない他のすべての対称類と同様に，球対称の第2類(∞/∞)には，2つのエナンチオモルフ（対掌体）が存在します．右手型および左手型の球は，対称∞/∞を持つエナンチオモルフの形態である．すべての球体の半径は等しいので，すべての球体は等方的であることに留意されたい．

これらの異なる対称性を持つ球体は，自然界ではいわゆる球晶の形で見られる．球晶の発生と成長は，様々な物質を人工的に調製したものを，対物（スライド）ガラスとカバーガラスの間に少量ずつ溶かして，顕微鏡で簡単に観察することができる．試料を冷やすと，しばしば球晶が現れる（図）．この実験は，特に硫黄でうまくいきます．球晶または球状硫黄結晶は，細い（おそらく分子レベルで細い）放射状のフィラメントで構成されています．球晶を，直交ニコル下の偏光顕微鏡で観察すると，常に黒い十字が見え（図），顕微鏡のテーブルを回転させても静止している．この光学現象は，球晶が放射状の構造を持っていることを証明するものです．球状結晶の中には，繊維がねじれているものがあり，これを偏光で観察すると，干渉色の同心円が交互に現れる．ねじれの性質によって，右巻きの球晶と左巻きの球晶を明確に区別することができる．捻じれていない繊維の球状物質は，通常の球の対称性を持っている．