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なかの数学まつり(第2回)正多面体を作ろう
小梁修(OSA工房)正多面体を作ろう.体積はいくらか?
11月26日(土)1時限目 小中学生
2時限目 高校生大人
1時限目
◆5角正12面体の分割モデルを作る.
この分割を利用して5角正12面体の体積を理解する。1辺の長さ1の正5角形の面で囲まれた正12面体の体積はいくらですか?
正12面体分割模型セット使用
◆正12面体の分割
![](https://assets.st-note.com/img/1669636623300-Uw8eKEAfkS.jpg?width=1200)
正5角形の1辺の長さを1とすると立方体の1辺の長さは黄金比Φである.
![](https://assets.st-note.com/img/1669636663882-q62Vbzsf4R.jpg?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1669637020668-Y3Dm5GNJJH.jpg?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1669637021646-syLWlIkpRe.jpg?width=1200)
次の3枚目を組む時もこの原則を厳守すればできる.
2時限目
◆小星型12面体を作る
6枚のパーツ(6つとも全く同じ変形星型)がある.中心の正5角形の外側にある5つの部分は,それぞれ正5角錐になる部分であり,3種類の糊代の形がある.小さな点で,・,・・,・・・のように表記されているので,各頂点に、この3種類が集まるように組み立てればできる.
小星型12面体模型セット使用
◆小星型12面体に関する数学的感想(谷)
小星型12面体は,正12面体をコアにして,各面に正5角錐を取り付け,正5角錐の側面がコアの正12面体の面と同一の平面上にある形です.
⇒正12面体と小星型12面体の対称性は同じ.
正5角形の穴のある星型平面[5/2角形]12枚を各頂点で5枚づつ組み合わせてできる形でもあります[シュレーフリ記号で{5/2,5}].
小星型12面体{5/2,5}の面を穴の開いた星型平面と見ると,面の数12(正12面体の面と同じ),頂点の数12(凹部の頂点は稜の交差点にすぎない),稜の数30(正12面体と同じ)で,オイラーの多面体定理はF+V-E=-6となる.
⇒穴の4つ空いたトーラスと同じ位相の面に作られた立体.
小梁の模型では,同一な型の6枚のパーツ(星型の変形)を,頂点で組み合わせることでできます.従って,内部にあるコア(正12面体)の面12のうちの内6つは穴のまま残されています.
変形星型パーツを作ったところが小梁の模型のミソです.
⇒パーツの数を6枚にした.
![](https://assets.st-note.com/img/1669677504766-GQJJpdx9af.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1669676718577-zjH2W0dXK8.jpg?width=1200)
小梁の模型を下図のように置くと,上下の6つの正5角錐の底にあるべきコア正12面体の面は空で穴になっている.
![](https://assets.st-note.com/img/1669678744105-SudOAkyH2z.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1669677837141-zQkwW8aOGV.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1669807889545-tNQEJYuypt.jpg?width=1200)
■完成した小星型12面体と正12面体.両者の対称性は同じ
![](https://assets.st-note.com/img/1669635081947-KK8ulpNtNL.jpg?width=1200)
■数学まつり教室風景
![](https://assets.st-note.com/img/1669620520897-glK4qyFfb9.jpg?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1669620576237-cPs0SVIibD.jpg?width=1200)
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