なかの数学まつり（第2回）正多面体を作ろう

sgk

2022年11月29日 12:05

小梁修（OSA工房）正多面体を作ろう．体積はいくらか？
11月26日（土）1時限目　小中学生
　　　　　　　2時限目　高校生大人

1時限目
◆5角正12面体の分割モデルを作る．
この分割を利用して5角正12面体の体積を理解する。1辺の長さ１の正5角形の面で囲まれた正12面体の体積はいくらですか？
正12面体分割模型セット使用

◆正12面体の分割

立方体１つとその6面に乗る屋根型5面体6つからなる．
正5角形の１辺の長さを1とすると立方体の1辺の長さは黄金比Φである．

突き抜けられる板のスリットは長手方向に沿ってある．
次の3枚目を組む時もこの原則を厳守すればできる．

2時限目　
◆小星型12面体を作る
6枚のパーツ（6つとも全く同じ変形星型）がある．中心の正5角形の外側にある5つの部分は，それぞれ正5角錐になる部分であり，3種類の糊代の形がある．小さな点で，･，･･，･･･のように表記されているので，各頂点に、この3種類が集まるように組み立てればできる．
小星型12面体模型セット使用

◆小星型12面体に関する数学的感想（谷）
小星型12面体は，正12面体をコアにして，各面に正5角錐を取り付け，正5角錐の側面がコアの正12面体の面と同一の平面上にある形です．
⇒正12面体と小星型12面体の対称性は同じ．

正5角形の穴のある星型平面［5/2角形］12枚を各頂点で5枚づつ組み合わせてできる形でもあります［シュレーフリ記号で｛5/2，5｝］．
小星型12面体{5/2，5}の面を穴の開いた星型平面と見ると，面の数12（正12面体の面と同じ），頂点の数12（凹部の頂点は稜の交差点にすぎない），稜の数30（正12面体と同じ）で，オイラーの多面体定理はF+V-E=-6となる．
⇒穴の4つ空いたトーラスと同じ位相の面に作られた立体．

小梁の模型では，同一な型の6枚のパーツ（星型の変形）を，頂点で組み合わせることでできます．従って，内部にあるコア（正12面体）の面12のうちの内６つは穴のまま残されています．
変形星型パーツを作ったところが小梁の模型のミソです．
⇒パーツの数を6枚にした．