フィボナッチ準結晶
■ 1次元フィボナッチ準結晶
2種類の長さの線分 L（長）とS（短）， L/S =(√5+1)/2 （L/Sの長さの比は黄金比1.618････）を用いて，1次元のタイル張りを実施する．
このタイリングのインフレーション・ルールを (L,S)→(LS,L) とすると，１次元のフィボナッチ準結晶が作れる：
つまり；LS→LSL→LSLLS→LSLLSLSL→LSLLSLSLLSLLS→･････
という具合に無限に繰り返すことで得られる文字列である．
n回繰り返した後のLの数を$${x_{n}}$$，Sの数を$${y_{n}}$$，n+1回繰り返し後のLの数を$${x_{n+1}}$$，Sの数を$${y_{n+1}}$$とすると，
$${ \begin{pmatrix} x_{n+1}\\y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{n}\\ y_{n} \end{pmatrix} }$$
● この文字列には，隣接するSSやLLLなどは生じない．
証明してください：
Sが生じる原因はL（L→LS）にあるが，Sが生じるときはLSの形でLとSがペアで生じます．従って，Sの間に必ずLが挟まれ，SSの型は生じません．
LLの型はあり得ますが，これを生じる原因はSL（SL→LLS）しかあり得ません．LLLSを得るにはこの原因がSSLである必要がありますが，SSとなることはあり得ないので，結局，LLLの型は生じません．
● Lの個数/Sの個数＝黄金比1.618････（n→∞）
証明してください：
結局，$${\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}^{n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix} }$$ を計算することになるが，行列の各項$${a_{11}(n), a_{12}(n), a_{21}(n), a_{22}(n)}$$は，フィボナッチ数列になり，$${a_{11}}$$に対して，$${a_{12}}$$および$${a_{21}}$$は1項遅れ，$${a_{22}}$$は2項遅れである．今必要なLの数/Sの数の比は，$${a_{11}/a_{21}}$$であり，この比は$${n→\infty}$$で黄金比1.618･･･である．
PenroseタイリングとFibonacci準結晶は密接な関係がある：PenroseタイリングのAmmannバーは，５つの平行な部分集合（それぞれは正5角形の辺に平行）に分類され，これらの部分集合のそれぞれは，1次元のFibonacci準結晶を作る．以下の図に赤線で示した平行線群は，一つAmmannバー部分集合で，この平行線群のAmmannバーの間隔は，L（広い），S（狭い）の2種類あり，L，Sの配列は1次元のFibonacci準結晶になっている．
1次元Fibonacci準結晶で，Lを数字の1，Sを数字の0に置き換えることで，無限に続くビット列として表すことができる．インフレーション・ルールは次のようになる： (1, 0) → (10, 1)
全域的には不等価（変換によって関連づけられない）だが，局所的には識別不能，つまり，回復可能なビット列$${F}$$は無限に存在する：
● ビット列$${F}$$の任意の有限部分列は，他の任意のビット列$${F′}$$にも現れ，出現する異なる有限部分列の相対頻度も一致する．
● 有限領域$${K}$$内の$${F}$$の任意の有限部分列は，$${F}$$の残りから復元できる．$${F}$$の任意の有限部分列（有限領域$${K}$$内）は，$${F}$$が特異な場合を除き，$${F}$$の残部（補空間領域$${K^c}$$内）から復元できる．
したがって，これらのビット列を利用して，離散多体波動関数を構成することができる．これらの波動関数は，QECCに対する基底になる．ビット列$${[F]}$$の各同値類に対して次のような波動関数が作れる：
$${|Ψ_{[𝐹]}⟩∝Σ_{𝑥=−∞}^∞|𝑥+𝐹⟩}$$
ここで，$${𝑥+𝐹}$$は$${𝐹}$$の$${𝑥}$$だけの並進である．
これは 整数格子上の量子スピン鎖の波動関数と考えることができる．これらの量子状態$${\{|Ψ_{[𝐹]}⟩\}}$$は，QECCのコード部分空間$${C}$$を張る．
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