証明可能性の限界（３）

Грегори Чейтин　科学の世界«В мире науки» №6, 2006

数学と物理学
数学と物理学は完全に異なるものと一般に思われています。物理学者は、実験と観察の結果に基づいて世界を説明します。ニュートンの法則であれ、量子物理学の標準モデルであれ、宇宙を支配する法則は、経験的に確立され、論理的に証明するのではなく、実験的にのみ検証できる公理と見なされなければなりません。数学者は、ある意味で世界から独立しています。彼らの結論や定理、たとえば整数や実数の性質は、私たちの周りの現実にまったく依存していません。数学的な真実はどの世界でも真実でなければなりません。それでも、類似点があります。物理学、そして一般的に自然科学では、科学者は観察結果を昇華させることによって法則を生みだします。それから、結果の法則から観察結果をどのように推定できるか示します。数学でも同様のことが起こります。数学者は計算実験の結果を公理に圧縮し、それらから定理を推定します。

ヒルベルトが正しければ、数学は閉じたシステムであり、新しいアイデアの場所はありません。数学のすべてを説明する静的な閉じた理論があり、それは独裁者のようになります。数学を発展させるには、創造のための新しいアイデアと範囲が必要です。いくつかの基本原理から考えられるすべての結果を推測するために最善を尽くすだけでは十分ではありません。個人的には、オープンシステムの方が好きで、厳格で権威のある考え方は好きではありません。

1956年にハンガリーから脱出し、その後イギリスで科学の哲学に従事したイムレ・ラカトスも、数学は物理学のようなものだと信じていました。彼は、実験が数学にとって異質ではないことを示すために、準経験性の概念を導入しました。たとえば、1742年に、Christian Goldbachゴールドバッハは、2を超える偶数は2つの素数の合計として表すことができるという経験的な結論に達しました。ゴールドバッハの推測は、10^{14}までの数で正常にテストされていますが、厳密には証明されていません。数学は準経験的であるように私には思えます。言い換えれば、それは物理学（本当に経験的です）とは異なりますが、おそらくほとんどの人が考えるほどではありません。

新しい公理
新しい公理を追加するという考えは、数学者にとって異質ではありません。たとえば、ユークリッドの5番目の仮定を考えてみましょう。直線の外側に選んだ任意の点を通る指定された直線に平行線な直線は、1つだけ描くことができます。何世紀にもわたって、幾何学は、ユークリッドの他の仮定に基づいてそれを証明しようと頭を悩ませてきましたが、失敗しました。最後に、数学者は、5番目の公理を置き換えて、曲線空間の非ユークリッド幾何学、特に球面形と鞍形を得ることができることに気づきました。他の例としては、論理学における除外平均の法則や集合論における選択の公理などがありますが、これはほとんどの数学者が進んで証拠として使っています。しかし、それを認めず、いわゆる直観主義的な論理や構成主義的な数学を探求する科学者がいます。数学はまだ絶対的な真理の一枚岩のシステムになっていないことが判明しました!

もう一つの非常に興味深い公理は、「PはNPと等しくない」という文で、PとNPは課題クラスの名称です。NPクラスには、提案された解を非常に迅速にチェックできる課題が含まれています。例えば、「数字8633の因数を求める」という問題では、提案された解「97と89」を簡単な掛け算ですぐに確認することができます。（「速い」には厳密な定義がありますが、ここでは詳細は重要ではありません）クラスPは、事前の想定がなくてもすぐに解ける課題です。誰も答えを知らない問題は、どんなNPクラスの問題でもすぐに解けるかどうかということです。(数8633の因数を素早く求める方法はないのでしょうか？)つまり、クラスPとNPは同じなのでしょうか？これは、クレイ数学研究所のミレニアム賞問題リストにある項目の一つで、それぞれ100万ドルの賞が与えられています。

ほとんどのコンピュータ科学者は、PがNPと同等ではないと確信しているが、厳密な証拠はまだ見つかっていない。このような仮定の真偽は多くの経験的証拠に支えられているが、それを前提にして公理として受け入れられるのだろうか。それこそコンピュータの専門家がやっていることです。確かに、広く使われているいくつかの暗号システムの信頼性については疑問が残ります。
ハッキングできないと考えられていますが、誰もそれを証明することはできません。

実験数学
物理学と数学の交差点で、実験的な数学が生まれました。多数の例のコンピュータ処理による新しい数学の法則の発見です。このアプローチは、短い証明ほどの説得力がありませんが、長くて複雑な証明よりも説得力があり、場合によっては非常に受け入れられます。この概念は、過去に、ヒューリスティックスと数学の準経験的性質の強力な支持者であるジョージ・ポリヤとラカトスの両方によって支持されてきました。これは、2002年に発行されたStephen Wolfram（Stephen by Wolfram）の著書「NewKind of Science»（A the New Kind of Science）」に適用され、正当化されています。

大規模なコンピューティングは非常に説得力がありますが、それは証明の必要性を排除しますか？はいでもありいいえでもある。計算と証拠は、さまざまな種類の証拠を提供します。特に重要なケースでは、証明に誤りが含まれている可能性があり、コンピュータの計算は、残念ながら、想定されている結論を反証するような反例を見つける直前に停止されることがあるので、両方とも必要だと考えます。

議論された問題は非常に興味深いものですが、解決にはほど遠い。ゲーデルの証明に関する記事が発表されてから50年が経過しましたが、2006年の今でも、その不完全性がどれほど深刻なのか、それが原因で数学的方法を修正すべきかどうかはまだわかりません。おそらく50年以内に答えが見つかるでしょう。

追加の文献：

・Leibnizの章については、Men ofMathematicsを参照してください。ETベル。再発行します。タッチストーン、1986年。
・数学の準経験的見解のより完全な議論については、数学の哲学の新しい方向性を参照してください。ThomasTymoczkoによって編集されました。プリンストン大学出版局、1998年。
・ゲーデルの証明。改訂版。E.ネーゲル、JRニューマン、DRホフスタッター。ニューヨーク大学出版局、2002年。
・実験による数学：21世紀のもっともらしい推論。J.BorweinとD.Bailey。AK Peters、2004年。
・ゲーデルの哲学と彼の作品とライプニッツの作品との関係については、不完全性：カートゲーデルの証明と逆説を参照してください。レベッカゴールドスタイン。WWノートン2005。
・メタ数学！：オメガの探求。グレゴリィ・チェイチン。パンテオンブックス、2005年。
・数学者の経歴は、スコットランドのセントアンドリュース大学の数学統計学部のウェブサイトで入手できます。
・グレゴリィ・チェイチンのホームページ。