ピタゴラス４つ組数

竹内淳実（数学月間の会の会員）さんの，ピタゴラス数に関する投稿がありますので，ホームページhttp://sgk2005.saloon.jpに掲載しました．ここにその概要を紹介します．

■ピタゴラス3つ組数とは　A²＋B²＝C²　を満たす正の整数（A,B,C）のことです．図形で言うと直角3角形の３辺A,B,C（斜辺）で成立するピタゴラスの定理の整数解です．（3,4,5）は良く知られた例です．エジプト紐などと呼ばれる直角を作る方法が古代エジプトで実用になっていました．この3つ組数は無限に存在しますが，系統的に求める竹内さんの投稿はすでに以下で紹介しました：

■ピタゴラス4つ組数とは　A²＋B²＋C²＝D²　を満たす正の整数（A,B,C,D）のことです．図形で言うと，直方体の3辺の長さA,B,Cの2乗の和は、その直方体の空間対角線Dの2乗に等しいので，　A²＋B²＋C²＝D²　が成立します．　
このA,B,C,D総てが整数である解をピタゴラス4つ組数です．Dが奇数の場合にピタゴラス4つ組数を求めてみよう．

D=3のとき：
ピタゴラス4つ組数の最小値は　1²＋2²＋2²＝3² （1，2，2，3）
D＝5では存在しない．
D≧7は
（2,3,6,7）（1,4,8,9）（2,6,9,11）（3,4,12,13）（2,5,14,15）
（8,9,12,17）（1,6,18,19）（4,8,19,21）（3,6,22,23）（12,15,16,25）
（2,7,26,27）（12,16,21,29）（5,6,30,31）（4,7,32,33）（6,10,33,35）
（12,21,28,37）（10,14,35,39）（9,24,32,41）（2,9,42,43）（4,28,35,45）
（6,27,38,47）（4,9,48,49）（2,14,49,51）（27,28,36,53）（10,18,51,55）
（7,8,56,57）（6,9,58,59）（11,36,48,61）（5,10,62,63）（7,24,60,65）
･･････････と求めることができる．

7≦D≦499の総ての奇数のD値で４つ組数の存在を確認している．
おなじD値に対して，複数解も多い（上のリストでは省かれている）．
例えば，D=39のときは，上記の他に（13,14,34,39）（2,26,29,39）も解である．またD＝3、D=13などでは倍数もある．
ピタゴラス４つ組数が存在しないと確認できるD値も証明できるかもしれない．何か法則を見つけてください．