クバンチクより翻訳（合同な3角形への分割）

今回は，7月号からの翻訳です．

合同な3角形への分割

3角形をどのように分割したら自分に合同な小さな3角形になるか？
このような分割でいくつの3角形ができるか？
正３角形を小さな正３角形に分割すると：4個から無限大

正3角形を4つの正3角形に分割するのはとても簡単です，各辺の中点を線で結ぶ（図1a）

同じように分割を続けると，合同な正3角形がどんどんできます．7,10，13，...　　3k+1個（kは自然数）［訳注）3角形を1つ潰して小さな3角形が４つ生まれます．大小ありますが合同な正3角形はこのように３個づつ増えていきます］

分割で生まれた3角形は，必ず合同になることに注目してください．同様にして，自己相似の図形の１つシェルピンスキーの3角形が作れます（そのような図形はフラクタルと呼ばれます）

正3角形で中線を描き，生じた4つの三角形の真ん中を取り除く．このプロセスを残りの3つの三角形でもそれぞれ繰り返し，これを無限に続けます．
(図 1, b)

もし，正三角形の辺の分割を2等分ではなく，3，4，...分割ではどうでしょう？そのときは，9，16，...個の正角形に分割できます．（図2,a,b）
結局，１辺をn個に等分割すると，小さな三角形の辺は元の辺の1/nになり、面積は1/n^2になります．これは，n^2個の３角形ができることを意味します．

それらの数は「層」の積み重ねで数えられます：
最上層--1個の三角形，2番目の層--3，3番目の層--5，...，n番目の層--2n-1個の三角形があります．
1 + 3 + ... +（2n-1）= n^2であることが幾何学的に証明されました．

任意の3角形に一般化

各辺に平行な線で分割する．

図3.aは6個の相似な3角形，図3.bは8個の相似な3角形，図3.cは11個の相似な3角形．

しかしながら，2個，3個，5個の相似な3角形で分割はできません．

直角3角形では

△ACBをCDで相似な2つの3角形に分割できるならば，△ACBは∠ACBが直角な直角3角形であることが示されます．

図５は74=5^2+7^2個の合同な直角3角形からなる．

異なる相似比の３角形への分割

もし，k+k^3=k^4が成り立つなら，△4と△5は合同になる．△7と△8も合同になる．k^6＝k^2(k+k^3)＝k^3+k^5＜k+k^3+k^5

結論に代えて

どんな3角形が５つの相似な部分に分割できるかわかっていない．

Б. Френкинの論文«О разрезании треугольника на подобные ему»
(«Квант»№ 4  2008 г.)

多角形に対してこのような分割をするのは

М. Гарднера «Математические досуги» (Мир, 2000; гл. 24:
«Делящиеся» фигуры на плоскости).