プラトン立体（５つの正多面体）の対称性の列
久しぶりで今回は正多面体の話題です．プラトンの正多面体は5種類であることを復習しましょう．正p多角形の面が頂点でq個集まってできる正多面体を，シュレフリーの記法で｛p,q｝と記します．
プラトンの正多面体は，正4面体｛3,3｝，正6面体｛4,3｝，正8面体｛3,4｝，正12面体｛5,3｝，正20面体｛3,5｝でした．
面を頂点に，頂点を面に置き換えた多面体同士を互いに双対な多面体と言います．記号で言うと，{3,3}は自分自身と双対です．｛4,3｝と｛3,4｝は互いに双対．｛5,3｝と｛3,5｝は互いに双対です．互いに双対の図形の対称性は同じです．この図は「美しい幾何学*」から引用．
これらの５つの正多面体の対称性（点群）を考察しましょう．
（煩雑なので回転対称軸だけ考え，鏡映面は考えていません）
正多面体 点群 位数（対称操作の数）生成元（点群の要素）
{3,3} 正4面体群 12 2回軸＋3回軸
{4,3}, {3,4} 正6(8)面体群 24 4回軸＋3回軸
{5,3}, {3,5} 正12(20)面体 60 2回軸+3回軸+5回軸
この表を見ると，次の群の包含関係がわかります．
正6面体群⊃正4面体群⊂正12面体群
正6面体群や正12面体群は，正4面体群を部分群として含む．
あるいは，正4面体群は正6面体群と正12面体群の共通部分群であるといいます．正6面体群の4回転軸を2回軸に落とすと正4面体群が生まれ，正4面体群に5回軸を加えると正12面体群が生まれます．
次のアニメーションはとても魅力的です．
このアニメーションを見ていたら，群の包含関係についての今回の記事を書きたくなりました．
(*注）
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/11/18073811/img_1_m?1496617471
左図は，互いに双対の図形，正6面体｛4,3｝と正8面体｛3,4｝の重ね合わせ．
双対の図形の対称性は同じですので，重ね合わせた図形も同じ対称性になります．
右図も同様で，正12面体と正20面体の重ね合わせの例です．
次にFig.1に移りましょう．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/11/18073811/img_0_m?1496617471
6･8面体は，正6面体と正8面体の重ね合わせの共通部分です．同様に
12･20面体は，正12面体と正20面体の重ね合わせの共通部分です．
これらの多面体は正多面体ではありません（2種類の正多角形の面があるので，半正多面体）．
6･8面体の双対図形が菱形12面体，12･20面体の双対図形が菱形30面体です．
例えば，左側の系列で言うと，6･8面体の正方形の面を，菱形12面体の稜が4つ集まる頂点に，
正3角形の面を稜が３つ集まる頂点に対応させています．
互いに双対な多面体の対称性は同じですから，
左の系列
菱形12面体，6･8面体は，立方体（あるいは，正8面体）と同じ対称性．
右の系列
菱形30面体，12･20面体は，5角正12面体（あるいは，正20面体）と同じ対称性です．
菱形多面体は，面の形が菱形で正多角形ではありませんから，正多面体や半正多面体の仲間ではありません．
（注）半正多面体とは，複数種類の正多角形の面でできるものです．菱形は正多角形ではありません．
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