ピタゴラス数を探し出す

数学月間の会会員の竹内淳実さんが，ピタゴラス数の求め方について，以下の提案をされましたのでここに紹介します．
詳細はhttp://sgk2005.saloon.jpのSGK通信★会員交流広場にあります．

■　A²+B²＝C²　直角三角形を表すピタゴラスの定理で、A,B,Cの3数すべてが整数であるのをピタゴラス数という。
ここで、Aを奇数、Bを偶数、そしてA,Bは共約数を持たない、としよう。
1． A値を基準にピタゴラス数を並べる
A²＝C²―B²＝(C―B)(C+B)の式より
3²＝1ｘ9であるからC -B＝1，C+B＝9として、C＝5，B＝4が求められる（3，4，5）と表記する。以下同様にして、
5²＝1ｘ25より　C―B＝1，C+B＝25　　　　　　　（5，12，13）
7²＝1ｘ49　　　　C―B＝1，C+B＝49　　　　　　　(7，24、25)
9²＝1ｘ81　　　　C―B＝1，C+B＝81　　　　　　（9，40、41）
9は3²であるから（3，4，5）より、共約数3を含む（9，12，15）もある。
11²＝1ｘ121　　　C―B＝1，C+B＝121　　　　　　（11，60、61）
13²＝1ｘ169　　　C―B＝1，C+B＝169　　　　　　（13，84，85）
15²＝1ｘ225＝9ｘ25　より2解、
　　　　　　　　　C―B＝1、C+B＝225　　　　　（15，112，113）
　　　　　　　　　C―B＝9，C＋B＝25　　　　　　（15，8，17）が得られ、
共約数を含む（15、20，25）（15，36，39）もあること勿論である。
17²＝1ｘ289　　　　C－B＝1，C+B＝289　　　　　　（17，144，145）
19²＝1ｘ361　　　　C―B＝1，C+B＝361　　　　　　（19，180、181）
このようにして、A≧3の全奇数でピタゴラス数を見いだせる。
3素数の積、105＝3x5x7では
105²＝1ｘ11025＝9ｘ1225＝25ｘ441＝49ｘ225より
（105，5512，5513）（105，608，617）（105，208，233）（105，88，137）
が得られ、また共約数3，5，7，15，21，35を含む9例のピタゴラス数もある。

2． 直方体のピタゴラス数
直方体の側面の三つの対角線全部の長さが整数であるもの、三辺A, B, Cとして
A²+B²＝E²、B²+C²＝F²、C²+A²＝G²総てが整数であるもの、オイラーが発見したといわれるのが（117，240，267）（240，44、244）（44，117，125）である。
この解はA=117＝3²ｘ13のピタゴラス数、3，9，13，39の共約数あるもの（ゴシック表示）を含めて
（117，6844，6845）(117、44，125)（117、156，195）（117，520，533）
（117，756，765）（117，2280，2283）（117，240，267）より（44，240，244）を見出したのであろう。同様にして
A=187＝11･17より　（187，1020、1037）（1020，1584，1884）（1584，187，1595） 　　
A=195＝3・5･13より（195，748，773）（748，6336，6380）（6336，195，6339）
A=275＝5²・11より　（275，240，365）（240，252，348）（252，275，373）
と得られる。A≦1000の範囲であと幾つ見つかるだろうか。