正方格子の格子点上に正3角形が作れるか

このMATHOLOGERvideoで始めに出てくる問題は，正方格子の5x5の領域の中に正方形がいくつあるかという問で，videoの中で数えて見せます．

1+4+9+16=30と答えそうですが，傾いた正方形も数えなさいと注意されて宿題になります．

次に出された問題は，正方格子の格子点を利用して正３角形がつくれるかという問ですが，作れないことは自明です．しかし，正方格子の格子点は無限に繰り返して広がっており，大きい正3角形を作れば限りなく格子点に近い頂点をもつ正3角形が作れます．格子点を頂点とする正3角形は絶対にないということをエレガントに証明しなさいという問です．

（１）格子というのは格子点を平行移動したものの集合ですから，任意の２つの格子点を結んだペアの片方の格子点を任意の位置の格子点上にもっていってもペアの他端は必ずどこかの格子点に乗るはずです．
（２）今問題にしているのは，正方格子ですから90°回転しても格子点は重なります（4回対称性がある）．

正3角形の頂点が格子点にあるとして，（１）より許される平行移動をして正6角形格子ができます．（２）より正方格子を仮定すれば，次々と縮小された正6角形格子を生まなければならず，格子間隔が無限に小さくなっていき有限サイズの格子が得られません．よって正3角形を正方格子の格子点上に作れないことが証明されました．

3次元の格子になると正3角形は格子点上に作れます．

■次の問題は，正8角形を格子点上とすると，（１）の格子点の平行移動の性質を満たさなければなりません．（２）の正方格子の条件からは解放しましょう．使いません．（もちろん，正方格子の4回対称性は満たしており，8回対称性のはずですが）
（１）の条件だけですが，次々に縮小された格子点が生まれることになります．美しい奇妙な図形で，私は8次元空間の格子を思い浮かべました．