コンピュータ断層撮影

コンピュータ断層撮影（トモグラフィー）は，20世紀における最も衝撃的な科学の進歩の一つに挙げられる．これは現代医学すべてに革命的な影響を与えた．コンピュータ断層撮影の開発で，A. コーマックとG.ハウンスフィールド は1979年のノーベル医学・生理学賞を受賞した．断層写真を撮影するとき，人体の検査対象部位は，走査装置のリングの中を微小移動する．X線源と多数の検出器からなるスキャナーは，回転円運動のできるトーラス（ドーナツ）型の筐体に収められている． スキャナーは，「ドーナツ」のような形をしたハウジングの中にあり，ハウジングの中で回転円運動をする．
古代ギリシャ語で，τoμη´は「断面」を意味する．断層撮影装置に対して身体の位置を固定すると，スキャナーが回転するたびに，放射線源からの扇状ビームが進み，検出器は，それぞれの方向に沿った放射線の減衰を特徴づけるデータを得る．各点での吸収係数は体の組織密度に依存し，線源から検出器までのビーム移動距離に対する「吸収係数」関数の積分が，ビームの全吸収量を決定する．このような積分関数の値を再構成することができれば，人体は対象となる断面における組織密度マップで表現されることになる．一連の平行な断面で受信した画像の集合は，3次元的な表現を与える．密度に「異変のある」部分の位置と大きさによって，医師は問題を発見し診断することができる．
数学的な観点からは，平面上の関数を可能な限りの直線に沿った積分によって再構成することは，1917年にJohann Radonによって解決された古典的な問題である．しかし，ラドンの公式が持つトモグラフィーの可能性を実用化できたのは，コンピュータ時代の到来による．この問題の難しさは，データ量の多さだけでなく，その解決には，コンピュータだけでなく，20世紀を通じて発展してきた数学的手法も必要であった．現代のコンピュータ断層撮影スキャナーの高コストには，その設計の工学的な複雑さではなく，その設計に内在する非自明性が関係していることを指摘しておきたい． その中にある非自明な数学的アルゴリズムが，主要な企業秘密である．主要な企業秘密である．最新のCTスキャナーはリアルタイムで動作し，検査対象組織の密度のわずかな違い（コンマ数パーセントのオーダー）を検出する高い精度を備えている．しかし，X線CTの使用はX線の被曝刺激が強いため，適応できない場合もある（例えば，妊婦の診断には推奨されない）．このような場合には，より人体に負担の少ない超音波を使用する必要がある．超音波はX線のように組織内を直進せず，組織の密度変化があると，超音波は直線ではなく曲線に沿って伝搬する．曲線ラドン問題（平面上の関数を，ある種のあらゆる曲線に沿った積分によって再構成する問題）は，いまだに未解決である．
このため，私たちはそのため，直線の場合のラドンの公式を使わなければならず，X線と比較した超音波断層撮影の精度に影響を及ぼしている．超音波断層撮影装置の性能向上は，数学的問題の解法の進歩に直接依存する． 超音波CTスキャナーの性能の向上は，述べられた数学的問題の解決の進展に直接依存している．

曲線ラドン問題は，医学だけでなく，例えば地質学でも重要で，鉱物の地震探査で発生する．例えば，大深度にある鉱床を見つける必要があるとしよう．そのためには，地表で小爆発を繰り返し，その影響を隣接する地震観測点で記録し，地震波の伝搬速度から，曲線ラドン問題を設定するためのデータを得ることができる．この問題を解くことで，鉱物の位置を特定することができる．このように，地震探査の場合でも，曲線ラドン問題の解法次第で，さらなる進展が期待できる．トモグラフィーの技術は，医学と地質学の分野で使われているが，実際には，このようなアプリケーションはもっとたくさんある．定式化された問題は，積分幾何学と呼ばれる数学の分野に属している． この分野には多くの未解決の問題が残っているが，その解決に進展があれば，重要な実用的応用が見いだせることは間違いない．
Сергеев Армен Глебович
p.20-21，МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯより引用
応用：医学、地質学
数学：積分幾何学、解析学、Fourier変換

■（訳者コメント）
X線よりも非侵襲で安全なプローブとして，電波［核磁気共鳴NMR（MRI）］，赤外線，超音波などがある．それぞれ被検査物体の吸収率分布が得られるが，吸収率と一概に言っても，それぞれのプローブと物質との相互作用は異なるので，別の特徴に関する断層マップが得られる．超音波は物質により音速が変化するので屈折して進むが，物質のX線に対する屈折率はほとんど１なので，直進するとみなしている．超音波もX線と同様に横断する行路（屈折率分布のある物質では，直線ではない）に沿った吸収の積分値を観測する点では同じだ．しかし，例えば，MRIでは，傾斜磁場で選択された部位の吸収を一斉に検出するので，画像化の仕組みは少し異なる．