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トレミーの定理
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トレミーの定理

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トレミーは2世紀のギリシャの天文学者プトレマイオスのことです.地球中心の天動説を確立したので有名です.トレミーの定理を導きました.

トレミーの定理(Ptolemy's Theorem)とは,円に内接する任意の4角形 ABCD で,AB・CD+DA・BC=AC・BD が成立することです.
高校の幾何ででてきた懐かしい定理です.

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トレミーの定理を,以下のような特殊な円に内接する4角形=長方形に適用すると,ピタゴラスの定理 a・a+b・b=c・c が証明できます.この意味で,トレミーの定理はピタゴラスの定理の拡張定理と言えます.

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さて,トレミーの定理の証明には,三角関数を使うなど色々な方法がありますが,素朴に,下図の2つの図に示す3角形の相似を用いてやってみます.

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式

両辺を足し合わせると AB・CD+BC・DA=AC・(BP+DP)が得られます.

 


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数学と社会の架け橋=数学月間(7/22-8/22)のボランティア活動をしています.数学者のための数学ではなく,科学技術や生活社会を支えている数学を話題にします.月間期日は22/7≒π,22/8≒eにちなみます.私は結晶世界や万華鏡や宇宙を思わせるイスラムの繰り返し模様が好きです.