フェドロフの平行多面体と非対称要素立体★

Параллелоэдры(Parallelohedra)и стероэдры(Stereohedra) Федорова
フェドロフの平行多面体と非対称要素立体

一つの平行多辺形で，平面を隙間なく埋めるという問題は，3次元空間に対しても提起できます．空間では，平行多辺形の役割は，平行多面体が担っています．代表的な平行多面体には，立方体，2つの底面を持つ６角柱，菱形12面体，細長い菱形12面体，立方8面体（切頂８面体）の5種類があります（文末の図）．隣接する平行多面体の面が完全に一致するように，同一の平行多面体で空間充填できます．すべての平行多面体は互いに平行に並び，重なりや隙間のない空間充填ができます．5つの典型的な平行多面体から，それを伸ばしたりずらしたりすることで，無限の派生平行多面体を得ることができます．
立方体から変形させると，直方，および，斜方の平行多面体，６角柱から変形させると，斜方の6角柱などになります．平行多面体の持つ対称性を考慮し同価な部分に分割（一般的には，これらの部分は非平行に配向）できます．分割された部分を非対称要素立体Stereohedronと呼びます．空間における非対称要素立体Stereohedronは，平面におけるプラニゴンPlanigonに相当し，離散体の最小分割単位です．それは，さらに小さい等価部分に分割することはできませんが，それらの部分は直交変換によって互いに変換し合います．ここでは，すべての非対称要素立体Stereohedronのカタログを作ることはせず，いくつかの例を挙げるにとどめます．
平行多面体が対称心を持たない斜方の平行六面体（対向面は異なる色に塗られている）である場合，その図形はもはや等分することはできず，それ自体がStereohedronです．平行六面体の中心に対称心がある場合は，その図形は2つのStereohedronに分割することができます．立方体は，対称面によって48個のStereohedronに分けられる（表紙の写真と下図参照）．

立方体の48分割のときの非対称要素

E.S.Fedorovが離散体（結晶空間）の230種類の対称類を導出した際に，Stereohedronは大きな役割を果たしました．球などの最密充填の問題は，Stereohedronや平行多面体による空間充填の問題に還元できる部分もあります（B.N.Delaunay, 1934参照）．

フェドロフの平行多面体：
立方体，2つの底面を持つ６角柱，菱形12面体，細長い菱形12面体，立方8面体（切頂８面体）

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