理論物理学と現代数学

理論物理学は，現実世界の数学として，17世紀以降の数学的アイデアの主要な源泉であり，数学者の原動力であった．これは，数学と他の自然科学との本質的な架け橋である．
理論物理学の偉大な指導者たちは，現実を調べるのに，極めて高度な抽象的な数学理論を使用，時には数学を創造した．理論物理学の言語と技法は，現実の問題を調べるための最良の数学的道具である．何世紀にもわたり，自然現象を記述する微分方程式を解く（積分する）問題は，物理学と数学の中心であった．
ニュートンの有名な二体問題が，物理学における数学的方法の発展に果たした役割は誰もが知っている．微分方程式の厳密な解析解を求めることは，数理物理学の主要な手段であり続けた．問題が難しすぎる場合は，問題を単純化して厳密解を探す必要があった．
車輪の運動など，有名な問題の特別な「可積分な場合の解」を見つけることに多くの努力が費やされ，この目的のために，冪級数や三角級数，フーリエ・ラプラス積分変換，複素解析，対称性の考察など，あらゆる数学的手法が19世紀に発明開発された．
19世紀には，3次元ユークリッド空間における2次元楕円体上の測地線の流れの可積分性（ヤコビ），一定の重力場における特殊なパラメータを持つ波の運動（Kovalevskaya），など，明らかな対称性のない奇妙な可積分事例が発見された．
これらの背後にある隠れた対称性は何なのだろうか？その答えは，ソリトン理論の登場まで明らかではなかった．

水中のソリトン（またはソリトン波）は19世紀にはすでに知られていたが，1960年代に最初のコンピュータが登場し，数値実験によってこの非線形波の新しい特性を明らかにすることができるようになった．その数学的説明は，プラズマ理論や非線形光学を含む連続媒質中の非線形波，量子論，散乱理論，周期性結晶，ハミルトン力学，リーマン面やアーベル多様体の代数幾何学（シータ関数）など，数学と物理学の異なる分野をつなぐ可積分ソリトンモデルの理論につながった． 数学と数理物理学の最も重要な発見の大部分は，可積分モデルの理論の発展でなされた．

1970年代には，数学者と物理学者の協力関係において重要な進歩があった．例えば，半世紀にわたって待ち望まれていた重要な実験観測が，トポロジーの結果を用いて説明できるようになった．
80年代初めには，物理学者がこの10年間に数学から得た主なものはトポロジーであり，同時に，物理学者の発見がトポロジーに応用され始めた．
ヤン・ミルズの自己デュアル方程式の理論から，インスタントンの理論が発展し，それが4次元トポロジーに顕著に応用されたことを思い出してほしい．
ヤン・バクスター方程式の理論は，結び目理論におけるジョーンズ多項式の理論につながった．
有名な2次元共形場理論は，多くの可積分モデルを与え，またソリトン理論や量子群に深く関わる新しい代数的対象でもある．

21世紀のこの10年間，理論物理学者からもたらされた数学的アイデアは，
代数幾何学の発展に大きな影響を与えている．数学と理論物理学の相互作用は絶えることはなく，それぞれの科学の成果は他方を豊かにしてきた．

最後に，若い数学者諸君には，数学と物理の両方のワークショップに参加する機会が増えるよう期待する．時間の経過とともに，理解が深まっていくことだろう．
Новиков Сергей Петрович
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ, p.34-35
数理物理学方程式，トポロジー

［訳者注］ーーーーーーーーーーーーー
力学系を記述するラグランジュ方程式は作れるのだが，これが解けるとは限らない．物理の演習では，解けるものしか扱わなかったのです．
実際の世の中は，解を関数で記述できない（解けない）方程式が大多数です．系の運動を支配する法則（ニュートン力学の方程式）は明確なのに，
解が関数で記述できないのだ．でも解は実在するのです．コンピュータによる数値計算により，運動は逐一決定できるはずです．しかし，予想もつかない挙動（分岐やカオス）が起こる．このようなことを最初に指摘したのはポアンカレでした．
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●1766　オイラー「変分法の原理」
　　　　（オイラー，　ラグランジュ）
●1800　ラグランジュ「解析力学」
　　エネルギー散逸がない系は，オイラー＝ラグランジュ方程式が作れる．
　　　（オイラー，　ハミルトン，　ヤコービ）

●1900　ポアンカレ
　　可積分の方程式はごくわずかで，大部分の方程式は非可積分（関数で記述できない）
　　ニュートンの法則に従う系の運動は，可積分と決めつけてはいけない．

可積分　→　予測可能（安定な軌道）　互いに独立な因果列
非可積分→　カオス的　　　　　　　　干渉し合う因果列
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以下を参照ください：