ネットワーク・パターンの対称性２

点の対称性は∞･mと仮定します．この記号の意味は，紙面に垂直な∞回転対称軸（回転対称の極限）とその対称軸を含む鏡映面mがあるという意味です．理想的な点は，その点を通り紙面に垂直な軸のまわりに任意の角度回転しても，あるいは，この回転軸を含む任意の面で鏡映させても，始めの点と一致するというものです．
1つの点を平方移動したものを集めた集合を点系（同価な点の集合）と呼びます．
点系の全体の対称性は，点の配置に依存しており，孤立した一点の対称性とは同じではありません．この様子を表紙の図でご覧ください．点だけの配置なら，図の3つの点系ですべて同一，対称性4･m（この記号の意味は，紙面に垂直に4回回転対称軸があり，この軸を含むような鏡映面がある）です．いずれかの点を通る軸の周りに90°回転したり，その対称軸を含む面で鏡映させても，固定点も系全体もそれ自身と一致します．しかし，正方形のネット（図左a）だけが，その構造の基礎となっている点系と同じ対称性を持ちます．つまり，ネットと点系の両方が，点と正方形の中点を通る４回回転軸，正方形の側面の中点を通る２回回転軸，垂直な対称面などを持っています．同じ点の系から作られた他のネット（図中9ｂ，図右ｃ）では，例えば，4回回転軸や垂直対称面がないなど対称性が異なります．点系からネットを作るとき，その点系と同じ対称性を持つネットの作り方（上の例では，図左a）を選ぶことにします．

各点で，２本（２本だけ）の直線が交差するように点が結ばれ，かつ，直線が点の位置でのみ交差するように点が結ばれていれば，結び方がどのようなものであっても，結果として得られる平行４辺形は同じ面積を有し，例えば，表紙の３つの図では，各平行４辺形の面積は全部同じ，図左の正方形の面積と同じです．このように構成された平行４辺形は，その辺の長さa,bと，これらの辺の間の角度α(a軸とb軸の正の方向の間の角度）によって規定される．これらの平行４辺形をネットの単位メッシュを「単位胞」（単位格子という言葉は避けたいと思います）と呼び，量a, b, αを格子定数と呼びます．
メッシュ（格子）の平行４辺形を，格子定数の対称性で分類すると，2次元では5種類になります（2次元のブラベ格子といいます）．

(a)正方格子　対称性４･m　　　格子記号(a:a)　　b=a，α=90°

(b)３方格子    対称性2･m　　　格子記号(a/a)　　　b=a，α=60°
　 6方格子

(c)直方格子　　対称性2･m　　　格子記号(b:a)　　　　b≠a，α=90°

(d)面心直方格子　対称性2･m　格子記号(c/b:a)　　c=(a+b)/2，b≠a，α＝90°
　　菱形格子　　　　　2･m　　　　　(a/a)　　　　b=a，α≠90°，α≠60°　

(e)斜平行4辺形　　対称性２　　格子記号(b/a)　　b≠a，α≠90°　

美しい幾何学p54,55

美しい幾何学