「aもbも有理数であるなら、a＋bもabも必ず有理数になる」これは真ですか？Chat GPTとの対話

You
「aもbも有理数であるなら、a＋bもabも必ず有理数になる」これは真ですか？

ChatGPT
ChatGPT
はい、与えられた条件において、主張は真です。
有理数の定義上、有理数は整数の商として表される数です。整数の和や積もまた有理数です。
したがって、aもbも有理数である場合、a + bもまた有理数となります。また、ab（aとbの積）も有理数になります。これは有理数が加算と乗算に対して閉じているという性質から来ています。

You
「a＋b、abの少なくとも一方が無理数であるならば、a、bの少なくとも一方は必ず無理数である」これも真ですね？

ChatGPT
ChatGPT
いいえ、与えられた主張は真ではありません。反例を挙げると、a = 2とb = √2 を考えてみましょう。

• a + b = 2 + √2 は無理数です。

• ab = 2√2 は無理数です。

しかし、a = 2 と b = √2 それぞれは有理数です。したがって、a + b と ab の少なくとも一方が無理数であるからと言って、a と b の少なくとも一方が必ずしも無理数であるとは限りません。

You
b = √2は無理数です。「aもbも有理数であるなら、a＋bもabも必ず有理数になる」が真になるなら、その対偶である「a＋b、abの少なくとも一方が無理数であるならば、a、bの少なくとも一方は必ず無理数である」も真になります。

ChatGPT
ChatGPT
すみません、誤解が生じていました。確かに、与えられた主張の対偶は真です。すなわち、「a＋b、abの少なくとも一方が無理数であるならば、a、bの少なくとも一方は必ず無理数である」という主張は真です。
反例を挙げると、a = 2 および b = √2 の場合において、a + b は無理数であり、しかし a と b それぞれは有理数です。したがって、与えられた主張の対偶が成り立ちます。おっしゃる通りでした。

何回も言うけど、√2は無理数やぞ！