小角X線散乱（SAXS）（7）- 【演習】Debyeの散乱式
ランダムに配向している物体に対するDebyeの散乱式を一般式から求める練習問題です。
【演習】Debyeの散乱式
ランダムに配向している粒子に対する次のDebyeの散乱式を導け[1]：
$$
I(h)=A_e^2\displaystyle\sum_{j}\displaystyle\sum_{k}f_jf_k\dfrac{\sin{hr_{jk}}}{hr_{jk}}
$$
$$
\boldsymbol{r}_{jk}=\boldsymbol{r}_k-\boldsymbol{r}_j\\r_{jk}=|\boldsymbol{r}_{jk}|
$$
$${I(h)}$$：散乱強度、$${h}$$：散乱ベクトルの大きさ、$${A_e^2}$$：1個の電子の散乱強度[2]、$${f_j}$$、$${f_k}$$：散乱点$${j}$$、$${k}$$でのそれぞれの電子数、$${\boldsymbol{r}_j}$$、$${\boldsymbol{r}_k}$$：散乱点$${j}$$、$${k}$$の位置ベクトル、$${\boldsymbol{r}_{jk}}$$：散乱点$${j}$$から散乱点$${k}$$へ向かうベクトル
【解説】
離散点に対する散乱強度$${I(\boldsymbol{h})}$$は一般に[2]、
$$
I(\boldsymbol{h})=A_e^2\displaystyle\sum_{j}\displaystyle\sum_{k}f_jf_ke^{-i\boldsymbol{h} \cdot \boldsymbol{r}_{jk}} \;\;\;\;\;\; (1)
$$
粒子はランダムに配向しているから、図1のように散乱ベクトル$${\boldsymbol{h}}$$を$${z}$$軸にとってよい。
位置ベクトル$${\boldsymbol{r}_{jk}}$$を極座標$${(r_{jk},\theta_{jk},\varphi_{jk})}$$で表すと、ベクトルの内積は、
$$
\boldsymbol{h} \cdot \boldsymbol{r}_{jk} = hr_{jk}\cos{\theta_{jk}}
$$
となるから、式(1)は次のように書き直せる：
$$
I(\boldsymbol{h})=A_e^2\displaystyle\sum_{j}\displaystyle\sum_{k}f_jf_ke^{-ihr_{jk}\cos{\theta_{jk}}} \;\;\;\;\;\; (2)
$$
粒子はあらゆる方角に回転する（ランダムに配向する）から、$${\boldsymbol{r}_{jk}}$$もあらゆる方角に回転する。したがって、観測される散乱強度は、あらゆる方角の散乱強度の平均となる。
$${(\theta_{jk},\varphi_{jk})}$$について平均をとる[3]：
$$
I(h) (=\langle I(\boldsymbol{h} \rangle) = \dfrac{1}{4\pi} \displaystyle \int_{\varphi_{jk}=0}^{2\pi} \int_{\theta_{jk}=0}^{\pi} A_e^2\displaystyle\sum_{j}\displaystyle\sum_{k}f_jf_ke^{-ihr_{jk}\cos{\theta_{jk}}} \sin\theta_{jk} \mathrm{d}\theta_{jk} \mathrm{d}\varphi_{jk}\\ = \dfrac{A_e^2}{4\pi} \displaystyle \sum_j \sum_k f_j f_k \int_{\varphi_{jk}=0}^{2\pi} \int_{\theta_{jk}=0}^{\pi} e^{-ihr_{jk}\cos\theta_{jk}} \sin\theta_{jk} \mathrm{d}\theta_{jk} \mathrm{d}\varphi_{jk}
$$
被積分関数は$${\varphi_{jk}}$$によらないから、$${\varphi_{jk}}$$に関する積分を先にして、
$$
\displaystyle \int_{\varphi_{jk}=0}^{2\pi} \mathrm{d} \varphi_{jk} = 2\pi
$$
こうして、
$$
I(h) = \dfrac{A_e^2}{2} \displaystyle \sum_j \sum_k f_j f_k \int_{\theta_{jk}=0}^{\pi} e^{-ihr_{jk}\cos\theta_{jk}} \sin\theta_{jk} \mathrm{d}\theta_{jk} \;\;\;\;\;\;(3)
$$
ここで、積分について、$${x=\cos\theta_{jk}}$$の積分変数の変換をすると、
$$
\displaystyle \int_{\theta_{jk}=0}^{\pi} e^{-ihr_{jk}\cos\theta_{jk}} \sin\theta_{jk} \mathrm{d}\theta_{jk} = \int_{-1}^1 e^{-ihx} \mathrm{d}x = \bigg \lbrack \dfrac{e^{-ihr_{jk}x}}{-ihr_{jk}} \bigg \rbrack_{-1}^1 \\ = \dfrac{e^{-ihr_{jk}}-e^{ihr_{jk}}}{-ihr_{jk}} = \dfrac{2\sin{hr_{jk}}}{hr_{jk}}
$$
ここで、正弦関数の複素数表現、
$$
\sin z = \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
$$
を使った。結局、式(3)は、
$$
I(h) =A_e^2 \displaystyle \sum_j \sum_k f_j f_k \dfrac{\sin{hr_{jk}}}{hr_{jk}}
$$
連続体の場合は、
$$
I(h)=A_e^2\displaystyle\int_V\int_V\rho(\boldsymbol{r}_)\rho(\boldsymbol{r}')\displaystyle\frac{\sin{h|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}}{h|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\mathrm{d}\boldsymbol{r}'
$$
となります。
（終）
文献
[1] 林久夫、"X線小角散乱入門”、輪講資料、1978.
[2] 小角X線散乱（SAXS）（1） - 基本的なこと（note記事）.
[3] 方角に依存する関数$${f(\theta, \varphi)}$$の平均$${\langle f \rangle}$$は次式で与えられる：
$$
\langle f \rangle = \dfrac{1}{4\pi}\displaystyle \int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^\pi f(\theta, \varphi) \sin\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi
$$
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