転がり運動。(大幅に修正しました)

※容量削減と読み易さの為、敬語や丁寧語を使わずにお送りしています。

1) v = Rωの場合。
v > Rω の場合、球は滑りながら回転する。ボウリングの球の様なイメージ。
v < Rωの場合、球は空回りする。らしい。
(追記)スシローのおもちゃでやってみたところ、空回りすることもあるし、逆方向に移動することもあった。


そして、v = Rωの場合は、前述の滑りや空回りは無く、コロコロと転がる。らしい。

v = Rωの場合は、図で示した矢印の速度の大きさは全て等しい。

剛体の重心速度 (velocity of center of mass) を、vj とする。
球の最上点 (点A) の速度を、vaとする。
v = Rω なので、Rωの大きさも、vj と同じ。
その為、点Aの速さは、va = vj + Rω = vj +vj = 2vj となる。

球と水平面との接触点 (点B) の速度を、vb とする。
vj と Rω は反対方向で、大きさが同じ為、vb の大きさはゼロとなる。

点Bと水平面との相対速度がゼロ　→　滑りも空回りも無し、ということらしい。

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初期状態が、v ≠ Rω でスタートした場合も、最終的には v = Rω となる。らしい。
理想的な状態 (球が剛体、球と水平面との摩擦がゼロ、空気抵抗がゼロ、など） であれは、v = Rω の時は、”いつまでも転がる” らしい。

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2) v > Rω の場合。
v > Rω(重心速度が周速より大きい) 場合は、球は滑りながら転がるようになる。
球と水平面との接触点 (点B)において、水平面に対する球の速度を、vb とする。
vb = vj - Rω となる。
vj > Rω なので、vb は正となる。
この時、vb と反対方向に動摩擦力が作用する。
この時の動摩擦力→F = -μmg
※μは動摩擦係数、m は球の質量、g は重力加速度。
この動摩擦力の運動方程式は次の様になる。

両辺を、m で割る↓

初速度を、vj0 として、t で積分↓

↑これは、時間 t の時の、球と水平面との接触点 (点B)の速度を表している。
(vb は時間の経過とともに減少する）

vb は時間とともに減少するが、最終的は vb = Rω となる。　(ちなみにωも時間とともに変化する。後述)

ωも、トルク (T) と、慣性モーメント (I) の式を使えば計算できる。
球と水平面との接触点 (点B) に作用する動摩擦力によるトルク (球の重心を中心とする。時計回りを正とする） ＝ 球の半径 × 動摩擦力　↓

また、角速度ωで球を回転させる回転力として、次の様にも書ける↓


I は慣性モーメント。

上記の2つの式から、ωを導く↓


球の慣性モーメントは、I = (2/5)mR^2なので、 次の様に書ける。

mRで約分↓

t で積分(初期角速度はω0 だったとする)↓

上式が、v > Rω の場合の、時間 t における角速度となる。
動摩擦力の方向が、球の回転方向と同じなので、ωは時間とともに大きくなる。
但し、前述のとおり、最終的にはvb = Rω となる。(無限に大きくなるわけではない)

3) v < Rω の場合。
v < Rωの場合は、動摩擦力が、v > Rω の場合の逆向きになる。
v < Rωの場合、球はその場で空回りする。らしい。(追記)スシローのおもちゃでやってみたところ、空回りすることもあるし、逆方向に移動することもあった。

”球と水平面との接触点 (点B)において、水平面に対する球の速度：vb” と、角速度：ωは、動摩擦力の向きを、v > Rω の場合の逆にすればよい。


■ vb = Rω になる時間 te
vb > Rω であっても、vb < Rωであっても、最終的には、vb = Rω となる。
vb = Rω となる時間 te を今まで求めた式により求めることができる。