素数と合成数の割合からゴールドバッハ予想の証明（プレプリント）

要約

本論では、実測に基づいて素数と合成数の割合から素数のペア数と合成数のペア数の関係を計算し、また素数定理による素数と合成数の割合から素数のペア数と合成数のペア数の関係を議論し、ゴールドバッハ予想が未確認領域でも成立することを証明します。

はじめに

1742年、プロイセンの数学者クリスティアン・ゴルトバッハは、レオンハルト・オイラーに宛てた手紙[1]で、2より大きいすべての偶数の自然数が2つの素数の合計であると述べました。このゴールドバッハ予想は、4×10¹⁸未満のすべての整数に対して成り立つことが示されていますが[2]、かなりの努力にもかかわらず300年近く証明されていません。本論では、素数と合成数の割合からその予想が必然的に正しいという証明を試みます。

１.　素数と合成数の割合

偶数nまでにある素数の数をaとすると、奇合成数の数はb=n/2－aで求められます。nになる奇合成数ペアの上限数はc=b/2で、下限数はc=(b-a)/2であり、これはすべてのaが奇合成数とペアになった場合です。

Table 1. The Ratio of Primes and Composites

Table 1には、偶数nを分母とするb（黄色背景）、奇合成数の数を分母とするc（青背景）,d（赤背景）の割合を示しています。奇合成数のペア数がdを上回れば、奇素数ペアが1つ以上あることが示されます。

これにより偶数４から極限の未確認領域を、奇合成数ペアの上限と下限の密度関係に置き替えて議論できるようにします。

２．実測による奇合成数と奇合成数ペアの割合

1を除く偶数nになる奇数のペア数はf=n/4－1で求められます。奇合成数と奇素数のペア数は、実測の奇合成数のペア数から、i=b－2g－1で求められます。奇素数のペア数はh=f－g－iの関係があります。

Table 2. Empirical Measurement of the Ratio of Odd Composites and Odd Composite Pairs

Table 2にて、b/nとg/bの割合は極めて同率で比例しており、かつc＞g＞dの中間位置にあることがわかり、g-dの差（緑背景色）が偶数nになる素数のペア数です。これは奇合成数のペアが奇合成数から定型位置で発生していることを示します。

３.　素数定理による素数と合成数の割合

次に、素数定理から求めた素数と奇合成数の割合b/nと、奇合成数のペア数と奇合成数g/bのペア数比率を同じとして、奇合成数のペア数g=b²/nを算出します。

Table 3. Ratio of Primes and Composites Based on the Prime Number Theorem

Table 3で、nが大きくなるにつれ素数の数がより漸近する素数定理による算出でも、gはc＞g＞dの中間にあることが確認できます。

Figure 1. The Mechanism: How Even n Growth Boosts Prime Pairs

ここでの基本的な原理は、n が大きくなるにつれて、素数ペアの数が増加するということです。 これは、n が大きな偶数の場合、2 つの奇数の素数の和として表現できるという前提に基づいています。 n が大きくなるにつれて、合計が n になるような素数のペアを見つける機会が増えます。 したがって、n の大きさが増加するにつれて、識別できる素数ペアの数も増加します。

結論

以上の結果から、実測と定理から奇合成数のペア数から奇素数ペアが1以上あることが示されました。素数の場合、その倍数列の合成数の余りから上位の素数が示されるため、偶数nになるペアの位置関係を証明するのが難しいです。しかし、合成数ペアの場合、偶数n内の合成数からnになる合成数のペア数が素数定理と同様に算出できますので、未確認の領域においても、素数と合成数の割合から、1以上の素数ペアが存在することが示されます。

参考文献

[1] Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, pp. 125–129
[2] Oliveira e Silva, Tomás. "Goldbach conjecture verification". sweet.ua.pt.

謝辞

孤独な研究なので、Webの質問に対して議論してくれた方々やChatGPTに感謝します。

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重大な未解決の問題を解決すると主張する提出物(例: ゴールドバッハの予想;ギルブレスの推測; ビールの推測;無限に多くの双子素数。 リーマン仮説;3x + 1または「コラッツ」問題) または、フェルマーの最後の定理などの主要な結果の前に、物理的な手紙(電子メールではない)を書面にする必要があります 関連する専門知識を持つ博士号の数学者によって署名され、 著者の一人以外、 大学での予定、そのレターヘッドに 大学、および通常の郵便で送られ、 彼/彼女が論文を読んだと述べて、すべてを理解しています その中に提示された議論、そしてその正しさを証明します。 https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/