テイラー展開（Taylor series）

$${x_{i}}$$周りの$${f,f',f''}$$のテイラー展開
数値計算では主にテイラー展開を用いた関数近似を用いられます．最も基礎となる３つのテイラー展開について式を書きます．
（数学の学問的には正しい書き方ではないですが，工学的にはいいのかと）

$${f(x) = f( x_{i}) +f^{'}( x_{i})( x-x_{i})+\frac{1}{2!} f^{''}( x_{i})( x-x_{i})^{2} +\frac{1}{3!} f^{'''}( x_{i})( x-x_{i})^{3} +\frac{1}{4!} f^{( 4)}( x_{i})( x-x_{i})^{4} +... +\frac{1}{m!}{ f^{( m)}( x_{i})( x-x_{i})^{m}} +o({(x-x_{i})}^{m+1}) }$$

$${f'(x)=f'(x_{i})+f''(x_{i})( x-x_{i}) +\frac{1}{2!} f'''( x_{i})( x-x_{i})^{2} +\frac{1}{3!} f^{(4)}(x_{i})( x-x_{i})^{3}+\frac{1}{4!} f^{( 5)}( x_{i})( x-x_{i})^{4} +...+\frac{1}{m!}{f^{( m+1)}( x_{i})( x-x_{i})^{m}} +o({( x-x_{i})}^{m+1})}$$

$${f^{''}(x) =f''( x_{i}) +f'''(x_{i})( x-x_{i})+\frac{1}{2!} f^{( 4)}( x_{i})( x-x_{i})^{2} +\frac{1}{3!} f^{( 5)}( x_{i})( x-x_{i})^{3}+\frac{1}{4!} f^{( 6)}( x_{i})( x-x_{i})^{4} +... +\frac{1}{m!}{ f^{( m+2)}( x_{i})( x-x_{i})^{m}} +o({( x-x_{i})}^{m+1})}$$

このように展開した際の，$${x_{i+1}}$$，$${x_{i+2}}$$ではどうなるか？
（簡略して書きます）ここでは，７次まで展開した例を書きます．
係数やら符号やらが間違いやすいのでここでちゃんと書いておきます．

$${f_{i+1} =f_{i} +hf'_{i} +\frac{1}{2!} h^{2} f''_{i} +\frac{1}{3!} h^{3} f'''_{i} +\frac{1}{4!} h^{4} f_{i}^{( 4)} +\frac{1}{5!} h^{5} f_{i}^{( 5)} +\frac{1}{6!} h^{6} f_{i}^{( 6)} +o\left( h^{7}\right)}$$

$${ f_{i+1}^{'} =f'_{i} +hf''_i +\frac{1}{2!} h^{2} f'''_{i} +\frac{1}{3!} h^{3} f{i}^{( 4)} +\frac{1}{4!} h^{4} f_{i}^{( 5)} +\frac{1}{5!} h^{5} f_{i}^{( 6)} +\frac{1}{6!} h^{6} f_{i}^{( 7)} +o\left( h^{7}\right) }$$

$${f''_{i+1} =f''_{i}+hf'''_{i} +\frac{1}{2!} h^{2} f^{(4)}_{i} +\frac{1}{3!} h^{3} f^{( 5)}_{i} +\frac{1}{4!} h^{4} f^{( 6)}_{i} +\frac{1}{5!} h^{5} f^{( 7)}_{i} +\frac{1}{6!} h^{6} f^{( 8)}_{i} +o\left( h^{7}\right) }$$

$${f_{i+2} =f_{i} +2hf'_{i} +\frac{1}{2!} 4h^{2} f''_{i} +\frac{1}{3!} 8h^{3} f'''_{i} +\frac{1}{4!} 16h^{4} f{i}^{( 4)} +\frac{1}{5!} 32h^{5} f_{i}^{( 5)} +\frac{1}{6!} 64h^{6} f_{i}^{( 6)} +o\left( h^{7}\right)}$$

$${f_{i+2}^{'} =f'_{i} +2hf''_{i} +\frac{1}{2!} 4h^{2} f'''_{i} +\frac{1}{3!} 8h^{3} f_{i}^{( 4)} +\frac{1}{4!} 16h^{4} f_{i}^{( 5)} +\frac{1}{5!} 32h^{5} f_{i}^{( 6)} +\frac{1}{6!} 64h^{6} f_{i}^{( 7)} +o\left( h^{7}\right)}$$

$${ f_{i+2}^{''} =f''_{i} +2hf'''_{i} +\frac{1}{2!} 4h^{2} f_{i}^{( 4)} +\frac{1}{3!} 8h^{3} f_{i}^{( 5)} +\frac{1}{4!} 16h^{4} f_{i}^{( 6)} +\frac{1}{5!} 32h^{5} f_{i}^{( 7)} +\frac{1}{6!} 64h^{6} f_{i}^{( 8)} +o\left( h^{7}\right) }$$

$${x_{i-1}}$$ , $${x_{i-2}}$$では，以下のようになる。

$${f_{i-1} =f_{i} -hf_{i}^{'} +\frac{1}{2!} h^{2} f''_{i} - \frac{1}{3!} h^{3} f'''_{i} +\frac{1}{4!} h^{4} f_{i}^{( 4)} -\frac{1}{5!} h^{5} f_{i}^{( 5)} +\frac{1}{6!} h^{6} f_{i}^{( 6)} +o\left( h^{7}\right)}$$

$${ f_{i-1}^{'} = f'_{i} -hf''_{i} +\frac{1}{2!} h^{2} f'''_{i} - \frac{1}{3!} h^{3} f_{i}^{( 4)} +\frac{1}{4!} h^{4} f_{i}^{( 5)} -\frac{1}{5!} h^{5} f_{i}^{( 6)} +\frac{1}{6!} h^{6} f_{i}^{( 7)} +o\left( h^{7}\right) }$$

$${ f''_{i-1}=f''_{i} -hf'''_{i} +\frac{1}{2!} h^{2} f_{i}^{( 4)} -\frac{1}{3!} h^{3} f_{i}^{( 5)} +\frac{1}{4!} h^{4} f_{i}^{( 6)} -\frac{1}{5!} h^{5} f_{i}^{( 7)} +\frac{1}{6!} h^{6} f_{i}^{( 8)} +o\left( h^{7}\right) }$$

$${ f_{i-2} =f_{i} -2hf'_{i} +\frac{1}{2!} 4h^{2} f''_{i} - \frac{1}{3!} 8h^{3} f'''_{i} + \frac{1}{4!} 16h^{4} f_{i}^{( 4)} -\frac{1}{5!} 32h^{5} f_{i}^{( 5)} +\frac{1}{6!} 64h^{6} f_{i}^{( 6)} +o\left( h^{7}\right) }$$

$${ f_{i-2}^{'} =f'_{i} - 2hf''_{i} +\frac{1}{2!} 4h^{2} f'''_{i} - \frac{1}{3!} 8h^{3} f_{i}^{( 4)} +\frac{1}{4!} 16h^{4} f_{i}^{( 5)} -\frac{1}{5!} 32h^{5} f_{i}^{( 6)} +\frac{1}{6!} 64h^{6} f_{i}^{( 7)} +o\left( h^{7}\right) }$$