🎡アダマール変換の仕様

アダマール変換（Hadamard Transform）は、離散フーリエ変換やラプラス変換などと同様に、信号処理やデータ解析で広く利用される数学的変換です。アダマール変換は、行列を用いて実行される変換で、バイナリ関数を特定の形式で変換します。アダマール行列は、再帰的に定義される特殊な正方行列で、各エントリは+1または-1です。

アダマール変換をJavaScriptで実装する場合、以下のようなコードになります。

/**
 * Generate Hadamard matrix of size n (must be a power of 2)
 * @param {number} n
 * @returns {number[][]}
 */
function generateHadamardMatrix(n) {
    if (n === 1) {
        return [[1]];
    }
    
    const smallerMatrix = generateHadamardMatrix(n / 2);
    const top = smallerMatrix.map(row => row.concat(row));
    const bottom = smallerMatrix.map(row => row.concat(row.map(x => -x)));
    
    return top.concat(bottom);
}

/**
 * Perform Hadamard transform on a vector
 * @param {number[]} vector
 * @returns {number[]}
 */
function hadamardTransform(vector) {
    const n = vector.length;
    const hadamardMatrix = generateHadamardMatrix(n);
    
    // Matrix-vector multiplication
    const transformed = new Array(n).fill(0);
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            transformed[i] += hadamardMatrix[i][j] * vector[j];
        }
    }
    
    return transformed;
}

// Example usage:
const inputVector = [1, 1, 1, 1]; // Example input vector
const transformedVector = hadamardTransform(inputVector);
console.log(transformedVector); // Output the transformed vector

このコードでは、以下のステップを踏んでいます：

1. `generateHadamardMatrix`関数でアダマール行列を生成します。この関数は、指定されたサイズのアダマール行列を再帰的に構築します。サイズは2のべき乗である必要があります。

2. `hadamardTransform`関数でアダマール変換を実行します。これは、入力ベクトルとアダマール行列を掛け合わせることで行われます。

3. 最後に、例として、入力ベクトル `[1, 1, 1, 1]` をアダマール変換し、その結果を出力しています。

この実装は、基本的なアダマール変換の概念を示しており、入力ベクトルの長さが2のべき乗であることを前提としています。実際の使用においては、入力データの前処理や最適化が必要になる場合があります。

アダマール変換とアフィン変換の主な違いは、アダマール変換が2値の集合に作用する線形変換であるのに対し、アフィン変換は空間内の点の集合に作用する幾何学的変換であることである。

アダマール変換とアフィン変換について、日本語の擬似コードで説明します。

アダマール変換の擬似コード

アダマール変換は、データのセットに対して行われる線形変換で、主に画像処理や信号処理に用いられます。

関数 アダマール変換(A)
    n = Aの行数  // Aは2^k x 2^kのサイズの正方行列と仮定
    もし n == 1 なら
        返す A
    そうでなければ
        A上左 = A[1:n/2, 1:n/2]
        A上右 = A[1:n/2, n/2+1:n]
        A下左 = A[n/2+1:n, 1:n/2]
        A下右 = A[n/2+1:n, n/2+1:n]

        // サブ行列に対する再帰呼び出し
        H上左 = アダマール変換(A上左)
        H上右 = アダマール変換(A上右)
        H下左 = アダマール変換(A下左)
        H下右 = アダマール変換(A下右)

        // 結果の組み合わせ
        上行 = H上左 + H上右, H上左 - H上右
        下行 = H下左 + H下右, H下左 - H下右
        結合して返す(上行, 下行)

アフィン変換の擬似コード

アフィン変換は、スケーリング、回転、平行移動を組み合わせた幾何学的な変換を指します。

関数 アフィン変換(点群, 変換行列)
    変換された点群 = []
    点群に対して繰り返し
        // 点は列ベクトル [x, y, 1]^Tと仮定
        変換された点 = 変換行列 * 点
        変換された点群に追加(変換された点)
    返す 変換された点群

ここでの `変換行列` はアフィン変換を行うための行列で、一般的には次の形式です：

[ a  b  tx ]
[ c  d  ty ]
[ 0  0  1  ]

この行列において、`a, b, c, d` はスケーリングや回転を制御し、`tx, ty` は平行移動を制御します。

アダマール変換は、信号処理、画像処理、データ圧縮でよく使われる線形直交変換です。アダマール行列をベースにしており、この行列は要素が+1または-1のいずれかからなる行列です。アダマール変換は、データベクトルとアダマール行列を掛け合わせることでデータに適用され、変換されたベクトルを得ることができます。誤り訂正符号、JPEGなどの画像圧縮、離散フーリエ変換の高速計算アルゴリズムなどの分野で応用されています。

アフィン変換は、画像処理、コンピュータグラフィックス、幾何学でよく使われる、線形変換の後に並進を行う変換です。並進、拡大縮小、回転、スキュー（せん断）など様々な変換を表現することができます。変換は、行列の乗算とそれに続くベクトルの加算で表現されます。アフィン変換は、共線性（同じ線上にある点は同じ線上に残る）と点間の距離の比（実際の距離そのものである必要はない）を保持します。

アダマール変換はアダマール行列に基づく直交変換であり、アフィン変換は線形変換の後に並進を行うものである。
アダマール変換は主に信号処理、画像処理、データ圧縮で使用され、アフィン変換は画像処理、コンピュータグラフィックス、幾何学で使用されます。
アダマール変換はデータのベクトルや行列を扱い、アフィン変換は点、線、図形を、並進、拡大縮小、回転、傾きなどの変換の文脈で扱います。

この表に示した例では、簡略化された3つの方程式スキームを使用しており、4つの分類群ツリーをnewickフォーマットで((A,B),(C,D))と書くことができる。サイトパターンはABCDの順序で書かれている。この特定のツリーは、2つの長い終端枝(部位あたり0.2転置)、2つの短い終端枝(部位あたり0.025転置)、短い内部枝(部位あたり0.025転置)を持つ。したがって、newickフォーマットでは、((A:0.025,B:0.2):0.025,(C:0.025,D:0.2))と書かれる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_transform

アフィン変換行列は、直線の "直線性 "と "平行度 "を保持する2次元座標から他の2次元座標への線形マッピングを行う。
このような座標変換は、3行×3列の行列で表すことができ、最後の行は [ 0 0 1 ] である。この行列は、元座標(x,y)を列ベクトルとみなし、以下の処理に従って座標ベクトルに行列を乗じることで、元座標(x,y)を先座標(x',y')に変換する：

http://paperjs.org/reference/matrix/

行列で表現できるのは線形変換だけではない。n次元ユークリッド空間Rn上の非線形変換の中には、n+1次元空間Rn+1上の線形変換として表現できるものがある。これにはアフィン変換（平行移動など）と射影変換の両方が含まれる。このため、3次元コンピュータグラフィックスでは、4×4の変換行列が広く用いられている。これらのn+1次元変換行列は、その用途に応じて、アフィン変換行列、射影変換行列、またはより一般的には非線形変換行列と呼ばれます。n次元行列に関して、n+1次元行列は補強行列として記述することができる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix

アフィン変換と線形変換は、幾何学において重要な変換の種類ですが、それぞれ異なる特徴を持っています。

線形変換

線形変換は、ベクトル空間内のあるベクトルを別のベクトルにマッピングする関数です。この変換は、スケーリング（拡大縮小）、回転、反射（鏡映）などを含みます。線形変換の重要な性質は以下の通りです：

1. 原点の保持: 線形変換では、原点は常に原点にマッピングされます。

2. 加法性と斉次性: 線形変換 T に対して、任意のベクトル u と v、およびスカラー a に対して、T(au+v)=aT(u)+T(v) が成立します。

3. 行列による表現: 任意の線形変換は行列によって表すことができます。

アフィン変換

アフィン変換は、線形変換の概念を拡張し、平行移動（移動）も含むようにしたものです。アフィン変換は、回転、スケーリング、反射、せん断（歪み）、移動などの変換を組み合わせることができます。アフィン変換の特徴は以下の通りです：

1. 原点の非保持: アフィン変換では、原点が別の点に移動することがあります。

2. 平行性の保持: アフィン変換は直線の平行性を保持しますが、角度や長さは必ずしも保持しません。

3. 拡張行列による表現: アフィン変換は拡張行列（通常は行列の最後に列を追加して平行移動を表現）を用いて表されます。

アダマール変換は、画像処理において特定のアプリケーションで使用されることがあります。アダマール変換は、画像データの分析や圧縮、ノイズ除去などに応用されることがあります。ただし、より一般的な画像変換手法と比べると、その使用は限定的です。

import cv2
import numpy as np
from scipy.linalg import hadamard

# 画像をグレースケールで読み込み
image = cv2.imread('path_to_your_image.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# アダマール変換を適用するためには、画像サイズが2のべき乗である必要があります。
# この例では、画像サイズを256x256にリサイズします。
image = cv2.resize(image, (256, 256))

# アダマール行列を生成
H = hadamard(256)

# アダマール変換を実行
transformed = H.dot(image).dot(H)

# 変換された画像を表示（または保存）
cv2.imshow('Hadamard Transformed', transformed)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

scipy.linalg.hadamard — SciPy v1.11.4 Manual

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