📏Haarウェーブレット
数学では、HaarウェーブレットHaar waveletは、ウェーブレット族または基底を形成する、再スケーリングされた「方形」関数のシーケンスである。ウェーブレット解析はフーリエ解析に似ており、区間上の対象関数を正規直交基底で表現することができる。Haar数列は、現在では最初に知られたウェーブレット基底として認識されており、教育例として広く使われている。
Haar数列は1909年にAlfréd Haarによって提案された。Haarはこれらの関数を用いて、単位区間[0, 1]上の正方可積分関数の空間に対する正規直交系の例を与えた。ウェーブレットの研究、そして "ウェーブレット "という言葉さえも、ずっと後になってから登場した。Daubechiesウェーブレットの特別なケースとして、HaarウェーブレットはDb1としても知られている。
Haarウェーブレットは、ウェーブレット理論における最も単純な形式の一つであり、信号処理や画像処理の分野で広く使用されています。
Haarウェーブレットで使われる「ウェーブレット」とはどんなものでしょうか？
「ウェーブレット」とは、信号処理や画像処理などにおいて、信号や画像の特徴を多解像度で解析するために使用される関数の一種です。
Haarウェーブレットの基本的な特性
シンプルな構造:
Haarウェーブレットは、非常に単純な形状をしており、1と-1の値を取る小さなセグメント（区間）で構成されています。
二値関数:
基本的なHaarウェーブレットは、一定の区間で1の値を取り、次の同じ長さの区間で-1の値を取り、残りの部分では0の値を取ります。
データの分解:
Haarウェーブレットを使用すると、信号や画像をより細かいレベルで分析することができます。これにより、データの主要な特徴や細かい詳細を別々に把握できます。
高速変換:
Haarウェーブレット変換は計算が簡単であり、高速に行うことができます。
用途
信号処理: Haarウェーブレットは、信号の分解や再構築に使用されます。
画像処理: 画像データを異なる解像度で分析する際に使用されます。エッジ検出や画像圧縮に有用です。
データ圧縮: Haarウェーブレットは、データ圧縮において基本的な役割を果たします。
最初の関数は単純な定数関数で、次に正方形関数があります。これらの関数は互いに直交しており、積分しても0になります。
これらの関数は、特定の区間での情報を提供し、小さなスケールで働きます。関数は直交し、係数は簡単に計算できます。2次元にも応用でき、画像の圧縮に利用されています。基底分解により、データを効率的に保存し、高精度を保つことができます。
Haarフィルターは加算と減算のみを使用するため、計算コストが低く、効率的です。
Haarウェーブレット関数は、時間間隔を0から0.5までプラス1、0.5から1までマイナス1として定義されます。この関数は直交性と正規直交性を満たし、信号の表現に使用されます
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