📡ウェーブレットってなんですか？

2024年4月12日 21:00

ウェーブレットは、信号処理、画像処理、データ圧縮などの分野で広く使用されている数学的な関数です。ウェーブレット変換は、時間や空間における信号の特性を局所的に分析するために開発されました。これは、フーリエ変換が提供する周波数の情報だけでなく、その情報がどこに位置しているか（つまり、時間的または空間的位置）という情報も提供します。この特性により、ウェーブレット変換は非定常信号や急激な変化を含む信号の分析に特に有用です。

ウェーブレット変換において、信号を時間と周波数の情報を含む形で分解する方法を示すために、疑似コードを用意しました。ここでは、信号を逐次的に分析し、各ステップで得られる近似係数と詳細係数がどの時間帯に対応しているかを示すようにします。

def wavelet_transform(signal):
    # 初期条件の設定
    current_signal = signal
    length = len(signal)
    
    # 各解析ステップでの近似係数と詳細係数を保持するリスト
    coefficients = []

    # ウェーブレット解析の各ステップ
    while length > 1:
        half_length = length // 2
        approximations = [0] * half_length
        details = [0] * half_length
        
        # 近似係数と詳細係数の計算
        for i in range(half_length):
            approximations[i] = (current_signal[2 * i] + current_signal[2 * i + 1]) / 2
            details[i] = (current_signal[2 * i] - current_signal[2 * i + 1]) / 2

        # 次のステップの信号は近似係数に更新
        current_signal = approximations
        length = half_length
        
        # 計算された係数をリストに追加
        coefficients.append((approximations, details))
    
    return coefficients

# 信号例
signal = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

# 変換実行
result = wavelet_transform(signal)
print(result)

ウェーブレット変換において時系列データは、通常の信号と同様に処理されますが、その各ステップで得られる係数（近似係数と詳細係数）には元の時系列データの時間的な位置情報が含まれます。疑似コードの説明で示したように、これらの係数は時系列データの特定の時間帯を表しています。以下のように具体的に理解することができます：

初期信号:
- 元の時系列データは、signalとして関数に入力され、この全体が時系列の初期状態を示します。
近似係数:
- 近似係数は、元の信号の低周波成分（つまり、より大まかな時間的トレンド）を表します。これらは元の信号の連続するサンプルペアの平均を取ることで計算されるため、元の時系列の各ステップごとの平均値を保持し、より広い時間帯を代表します。
詳細係数:
- 詳細係数は、元の信号の高周波成分（つまり、急激な変化やノイズなど）を表します。これらは元の信号の連続するサンプルペアの差を取ることで計算され、元の時系列の特定の短い時間帯における変動を示します。
時間的対応性:
- 各ステップでの近似係数と詳細係数は、元の信号の時間的な区間に対応します。例えば、信号が4サンプルある場合、最初の近似と詳細のセットは最初の2サンプルの情報と次の2サンプルの情報を分析します。

このようにウェーブレット変換では、時間的な要素は信号を段階的に分解することによって保持され、各段階での係数が特定の時間区間の情報を表しています。これにより、時系列データのどの部分に特定の周波数の成分が含まれているかを具体的に知ることができ、時間的な動向と周波数的な特性の両方を詳細に解析することが可能です。

ウェーブレット変換と畳み込みは似た数学的操作を利用していますが、ウェーブレット変換は畳み込みを応用し、さらに拡張したものと考えることができます。

時系列解析においてウェーブレット変換に似た手法として様々な時間-周波数解析方法が存在します。ウェーブレット変換が持つ、信号の局所的な特徴を捉える能力に似た他の手法もあります。以下は、そのような手法のいくつかです：

短時間フーリエ変換（STFT）:
- 短時間フーリエ変換は、信号を小さなセグメントに分割し、各セグメントに対してフーリエ変換を行うことで、時間と周波数の情報を得ます。ウェーブレット変換と同様に、時間と周波数の両方の情報を提供しますが、ウィンドウサイズが固定されているため、解像度のトレードオフが固定されています。
連続ウェーブレット変換（CWT）:
- 連続ウェーブレット変換は、ウェーブレット変換の一形態で、より連続的なスケールとシフトを用いて信号を分析します。これにより、非常に詳細な時間-周波数表現を生成することができます。
ウィグナー-ビル分布（WVD）:
- ウィグナー-ビル分布は、時系列データのエネルギー分布を時間-周波数空間にマッピングする方法です。非常に高い時間と周波数の解像度を提供しますが、クロスタームの干渉が問題となることがあります。
コーヘレンス解析:
- コーヘレンス解析は、異なる時系列間の周波数依存的な相関を調べる手法です。これは、信号間の相関関係を周波数領域で解析し、どの周波数成分が両方の信号で一致しているかを識別します。
エンパイアカルモード分解（EMD）:
- エンパイアカルモード分解は、信号をいくつかの固有モード関数（IMF）に分解し、それぞれのIMFが単一の振動モードを示すようにします。この方法は、信号の非線形性や非定常性に適応する能力があります。