行列を書きたい

E資格のお勉強をしている時、ノスタルジックな気持ちに襲われた。そのくらい久々に、「行列式の計算」というのをやったなぁ、と。

行列

行列『式』の話に行く前に、『行列』の話をしたいと思う。

以下の行列を見ていただきたい。

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$$

2行、2列の行列、行と列の数が同じなので、正方行列である。
・noteって、行列書けるんだよ
・行という漢字の右上の二の部分と、列の右側の刂の部分とに注目すると、縦と横のどっちが行で、どっちが列なのか見失わない

ということを伝えていきたいと思う。

行列の計算

行列の掛け算も書いてみよう。

$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21} & a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22} \\
a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21} & a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}
\end{pmatrix}
$$

もうね、こんな事考えたの誰なんだろう、と思うよね。最初の行列は横にスライスして、次の行列は縦にスライスして、それぞれ要素を1個ずつ拾ったやつを掛け算して、足しておけばよい。

行列の行の数と列の数が違っているパターンも書いておこう。

$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_{11} \\
b_{21} \\
b_{31}
\end{pmatrix}
=
a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31}
$$

パッと見て、

$$
\begin{pmatrix}
3 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}=  ?
$$

の答えが「0」だとは思わないよね。

ちなみに、

$$
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
3 & -1 & 2
\end{pmatrix}=  ?
$$

の答えは、

$$
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & -2 \\
3 & -1 & 2 \\
6 & -2 & 4
\end{pmatrix}
$$

となる。狂気すら感じる。

行列の計算じゃないよ、行列式の計算だよ

行列の計算は、なんとなく覚えていたんだけど、懐かしさを感じたのは、行列「式」の計算なのだ。

$$
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
$$

の行列式は、

$$
det  A \\
=
a_{11}\cdot a_{22} - a_{21}\cdot a_{12}
$$

である。そして、

$$
B =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
$$

の行列式は、

$$
det  B \\
=
a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13} + a_{31}\cdot a_{12}\cdot a_{23} \\
- a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32} - a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33} - a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}
$$

となる。

まとめ

先に謝っておこう。今日はただ、「noteで数式書くの案外楽しい」というのを表現するだけの、趣味の時間になってしまった。（行列を懐かしく感じたのは間違いないんだけどね…行列式の意味合いとか、本当は書かないといけないんだろうな…と思いながら、ただただ数式を書いてたよね）

Stable Diffusionも、ChatGPTも、中身はひたすらに行列の計算をしているから、ギリギリ人工知能のお話だとして、どこにもボードゲーム要素がなくなってしまったのは反省。（逆説で考えると、行列計算するボードゲームを出したら、この記事だってボードゲームの攻略記事にならんかな…）

というわけで、今日はこのへんで。ほなね！

例のAI画像のコーナー

「行列式を求める少女」である。いっそパロディ的に絵画調にして遊んでやろうかとも思ったのだけれども、いつも通りに生成してみたよ。

これは真面目に求めている

左の子がプラス担当、右の子がマイナス担当

行列式を探しに旅するパターン