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2017年東大最終本レ数学大問6を解こう①

らじあん

(今回は(1)と(2)の途中まで)


序章

んーーー❗❗❗勉強のやる気がでない❗❗❗
俺って超難関大志望(笑)の受験生のはずなんだけどずっとネットサーフィンしかできてない
鉄緑の先生が雑談で趣味のサーフィンの話してくるんだけど(もっと受験に関係ある話してくれ)、俺はネットサーフィンの話でもしてやろうか、俺のネットサーフィンの話興味ないだろあんた、そういうことだよ

そんなことはどうでも良くて、このまま勉強しないとその先に待っているのはﾀﾋ
どうしよう、少しでも勉強しないと………

あ

閃いてしまった、ネット使って勉強すればいいじゃん(天才)
そう思った俺はツイッターのブックマーク欄を遡った

あった

俺あるある、色んなツイートをブックマークするけど結局見ない

溜まってきてるこういうブックマーク解けばいいじゃん(？)
著作権とかよくわかんないけどもう他の人がネットに上げちゃってるやつだし俺は解いてるだけだし大丈夫、さぁ解こう

(1)を解き解き

問題集とかではよく見るけど実際に出題されてるのはあんまり見ない「積分を不等式で評価する系」の問題ね
0から1で積分してる時点で隠し条件の「0≦x≦1」があるからそこから不等式を作ろー

んー無理！！！（笑）

0≦x≦1から直接作るのは無理そう
n乗の形があるから二項定理かな、とも思ったけど4^n乗の形どうやって作るんだよ、eも2乗にならないし、無理だよ
部分積分してなんか見えてこないかなって思ったけどきもすぎる、無意味だし

一旦こういう不等式のセオリーに立ち返ってみる

あれだ、特徴的な形から考えて行けば何か見えてくるやつだ
分母とか、今回だったらeとかから不等式作ろう

eはこれで良さそう、4^nどうしようね

ん、eに関してはこれで上手くいくぞ
4のn乗どうしよう、こんな関数微分して増減表書くの無理だし、んーーー
自然数nに関する命題だから数学的帰納法やっちゃう…？って思ったけどxが動いてるからきもすぎる、絶対無理だ

あ、0≦x(1-x)≦1/4示して、各辺0以上なんだからn乗しちゃえばいいじゃん
二次関数だし余裕余裕
はい、見えました

よし(⁠╹⁠▽⁠╹⁠ ⁠)

何気に①の不等式で「0≦」にしちゃうと最後の式で最左辺と真ん中の辺が＝にならないことの記述が多分できないから危ない
ん、だらだらやってるからなのもあるだろうけどここまでで12分くらい使ってて爆笑
大問1問にかけられる時間は多くて25分、この大問は部分点狙いかな（汗）

(2)を解き解き、解けない


突如、暗くなる部屋

シグマついてる形を微分したことないよーーー😭😭😭
って一瞬焦ったけど、わかりやすくgn(x)っておいてくれてるんだからそのまま微分してあげたら
g'n(x)=fn(x)-2gn(x)　(丸をつけた式)
を示せば題意も示せることがわかった(e^2xは共通だからグッバイ)

で、微分してみたんだけど(最後の式)
ここからfn(x)-2gn(x)の形を作りたいんだけどfn(x)が(k+1)階微分されてて2^(k+1)だからずれちゃっててgn(x)の形がなかなか作れない、あとfn(x)をどうやって取り出せば良いの

わかんない

思いつかないから一旦中断。
(やる気があれば)次回に続く─────────

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